Integrated Fault Estimation and Fault Tolerant Control Design for Linear Parameter Varying System with Actuator and Sensor Fault
Subject Areas : electrical and computer engineeringHooshang Jafari 1 , Amin Ramezani 2 * , Mehdi Forouzanfar 3
1 -
2 - Academy Member
3 - Academy staff
Keywords: Fault estimation, fault tolerant control, linear parameter varying system, linear matrix inequality,
Abstract :
Fault occurrence in real operating systems usually is inevitable and it may lead to performance degradation or failure and requires to be meddled quickly by making appropriate decisions, otherwise, it could cause major catastrophe. This gives rise to strong demands for enhanced fault tolerant control to compensate the destructive effects and increase system reliability and safety in the presence of faults. In this paper, an approach for estimation and control of simultaneous actuator and sensor faults is presented by using integrated design of a fault estimation and fault tolerant control for time-varying linear systems. In this method, an unknown input observer-based fault estimation approach with both state feedback control and sliding mode control was developed to assure the closed-loop system's robust stability via solving a linear matrix inequality formulation. The presented method has been applied to a linear parameter varying system and the simulation results show the effectiveness of this method for fault estimation and system stability.
[1] P. A. Moradmand and H. Khaloozadeh, "An experimental study of modeling and self-tuning regulator design for an electro-hydro servo-system," in Proc. 5th IEEE Int. Conf. on Control, Instrumentation, and Automation, ICCIA'17, pp. 126-131, Shiraz, Iran, 21-23 Nov. 2017.
[2] M. Dorostian and A. Moradmand, "Hierarchical robust model-based predictive control in supply chain management under demand uncertainty and time-delay," in Proc. 7th IEEE Int. Conf. on on Control, Instrumentation and Automation, ICCIA'21, 6 pp., Tabriz, Iran, 23-24 Feb. 2021.
[3] A. Moradmand, M. Dorostian, and B. Shafai, "Energy scheduling for residential distributed energy resources with uncertainties using model-based predictive control," International J. of Electrical Power & Energy Systems vol. 132, Article ID: 107074, Nov. 2021.
[4] A. Oloomi and H. Khanmirza, "Fault tolerance of RTMP protocol for live video streaming applications in hybrid software-defined networks," J. of Electrical and Computer Engineering Innovations, vol. 7, no. 2, pp. 241-250, Jul. 2019.
[5] S. Khodakaramzadeh, M. Ayati, and M. R. Hairi-Yazdi, "Fault diagnosis of a permanent magnet synchronous generator wind turbine," J. Electr. Comput. Eng. Innovations, vol. 9, no. 2, pp. 143-152, Jul. 2021.
[6] M. A. Massoumnia, "A geometric approach to the synthesis of failure detection filters," IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 31, no. 9, pp. 839-846, Sept. 1986.
[7] H. Hammouri, M. Kinnaert, and E. H. El Yaagoubi, "Observer-based approach to fault detection and isolation for nonlinear systems," IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 44, no. 10, pp. 1879-1884, Oct. 1999.
[8] M. Blanke, M. Kinnaert, J. Lunze, M. Staroswiecki, and J. Schröder, Diagnosis and Fault-Tolerant Control, vol. 2, Berlin: Springer, 2006.
[9] R. J. Patton and J. Chen, "Observer-based fault detection and isolation: robustness and applications," Control Engineering Practice, vol. 5, no. 5, pp. 671-682, May 1997.
[10] J. Chen and Ron J. Patton, Robust Model-Based Fault Diagnosis for Dynamic Systems, Kluwer AcademicPublishers, USA, 1999.
[11] C. Nie and R. J. Patton, "Fault estimation and MRC-based active FTC," IFAC Proceedings Volumes, vol. 44, no. 1, pp. 14808-14813, Jan. 2011.
[12] P. Shi, M. Liu, and L. Zhang, "Fault-tolerant sliding-mode-observer synthesis of Markovian jump systems using quantized measurements," IEEE Trans. on Industrial Electronics, vol. 62, no. 9, pp. 5910-5918, Sept. 2015.
[13] L. Yao and L. Feng, "Fault diagnosis and fault tolerant tracking control for the non-Gaussian singular time-delayed stochastic distribution system with PDF approximation error," Neurocomputing, pt. A, vol. 175, pp. 538-543, Jan. 2016.
[14] X. Li and F. Zhu, "Fault‐tolerant control for Markovian jump systems with general uncertain transition rates against simultaneous actuator and sensor faults," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 27, no. 18, pp. 4245-4274, Dec. 2017.
[15] M. Zhong, S. X. Ding, J. Lam, and H. Wang, "An LMI approach to design robust fault detection filter for uncertain LTI systems," Automatica, vol. 39, no. 3, pp. 543-550, Mar. 2003.
[16] J. Lan and R. J. Patton, "A new strategy for integration of fault estimation within fault-tolerant control," Automatica, vol. 69, pp. 48-59, Jul. 2016.
[17] J. Lan and R. J. Patton, "Integrated fault estimation and fault‐tolerant control for uncertain Lipschitz nonlinear systems," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 27, no. 5, pp. 761-780, Mar. 2017.
[18] J. Lan and R. J. Patton, "Integrated design of fault-tolerant control for nonlinear systems based on fault estimation and T-S fuzzy modeling," IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol. 25, no. 5, pp. 1141-1154, Oct. 2016.
[19] X. Li, D. Lu, G. Zeng, J. Liu, and W. Zhang, "Integrated fault estimation and non-fragile fault-tolerant control design for uncertain Takagi-Sugeno fuzzy systems with actuator fault and sensor fault," IET Control Theory & Applications, vol. 11, no. 10, pp. 1542-1553, Jul. 2017.
[20] Y. Liu and G. H. Yang, "Integrated design of fault estimation and fault-tolerant control for linear multi-agent systems using relative outputs," Neurocomputing, vol. 329, pp. 468-475, Feb. 2019.
[21] C. Hoffmann and H. Werner, "A survey of linear parameter-varying control applications validated by experiments or high-fidelity simulations," IEEE Trans. on Control Systems Technology, vol. 23, no. 2, pp. 416-433, Mar. 2014.
[22] A. Casavola, D. Famularo, and G. Franze, "A feedback min-max MPC algorithm for LPV systems subject to bounded rates of change of parameters," IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 47, no. 7, pp. 1147-1153, Jul. 2002.
[23] G. Gagliardi, A. Casavola, and D. Famularo, "A fault detection and isolation filter design method for Markov jump linear parameter‐varying systems," International J. of Adaptive Control and Signal Processing, vol. 26, no. 3, pp. 241-257, Mar. 2012.
[24] A. Casavola, D. Famularo, and G. Gagliardi, "A linear parameter varying fault detection and isolation method for internal combustion spark ignition engines," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 24, no. 14, pp. 2018-2034, Sept. 2014.
[25] M. Rodrigues, D. Theilliol, S. Aberkane, and D. Sauter, "Fault tolerant control design for polytopic LPV system," International J. of Applied Mathematics and Computer Science, vol. 17, no. 1, pp. 27-37, 2007.
[26] R. J. Patton, L. Chen, and S. Klinkhieo, "An LPV pole-placement approach to friction compensation as an FTC problem," International J. of Applied Mathematics and Computer Science, vol. 22, no. 1, pp. 149-160, Mar. 2012.
[27] F. Shi and R. J. Patton, "Fault estimation and active fault tolerant control for linear parameter varying descriptor systems," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 25, no. 5, pp. 689-706, Mar. 2015.
[28] M. M. Seron and J. A. De Doná, "Robust fault estimation and compensation for LPV systems under actuator and sensor faults," Automatica, vol. 52, pp. 294-301, Feb. 2015.
[29] K. P. B. Chandra, H. Alwi, and C. Edwards, "Fault detection in uncertain LPV systems with imperfect scheduling parameter using sliding mode observers," European J. of Control, vol. 34, pp. 1-15, Mar. 2017.
[30] H. Rezaei and M. J. Khosrowjerdi, "A polytopic LPV approach to active fault tolerant control system design for three-phase induction motors," International J. of Control, vol. 90, no. 10, pp. 2297-2315, Jun. 2017.
[31] S. Varrier, D. Koenig, and J. J. Martinez, "Integrated fault estimation and fault tolerant control design for lpv systems," IFAC Proceedings Volumes, vol. 46, no. 2, pp. 689-694, 2013.
[32] R. Tayari, A. Ben Brahim, F. Ben Hmida, and A. Sallami, "Active fault tolerant control design for LPV systems with simultaneous actuator and sensor faults," Mathematical Problems in Engineering, vol. 2019, Article ID 5820394, 14 pp., 2019.
[33] P. Apkarian, P. Gahinet, and G. Becker, "Self-scheduled H∞ control of linear parameter-varying systems: a design example," Automatica, vol. 31, no. 9, pp. 1251-1261, Sept. 1995.
[34] B. D. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis: A Modern Systems Theory Approach, Dover Publications, New York, USA, 2006.
[35] M. Corless and J. A. Y. Tu, "State and input estimation for a class of uncertain systems," Automatica, vol. 34, no. 6, pp. 757-764, Jun. 1998.
[36] S. Mammar and D. Koenig, "Vehicle handling improvement by active steering," Vehicle System Dynamics, vol. 38, no. 3, pp. 211-242, 2002.
نشریه مهندسی برق و مهندسی كامپیوتر ایران، الف- مهندسی برق، سال 21، شماره 1، بهار 1402 51
مقاله پژوهشی
طراحی یکپارچه تخمینگر عیب و کنترلکننده تحملپذیر عیب برای سیستمهای خطی پارامتر متغیر با عیب عملگری و حسگری
هوشنگ جعفری، امین رمضانی و مهدی فروزانفر
چكیده: وقوع عیب در سیستمهای واقعی عملاً غیر قابل اجتناب بوده و میتواند باعث کاهش عملکرد و حتی واردشدن خسارت غیر قابل جبران مالی و جانی گردد. از این رو مداخله بهموقع و سریع با اتخاذ تصمیمهای مناسب به جهت جلوگیری از صدمات ناشی از عیب بسیار حیاتی است. همین امر استفاده از روشهای کنترل تحملپذیر عیب را برای جبران اثرات مخرب عیب در سیستم و افزایش قابلیت اطمینان و امنیت آن بسیار ضروری مینماید. در این مقاله روشی برای تخمین و کنترل وقوع عیب عملگری و حسگری بهصورت همزمان با استفاده از طراحی یک تخمینگر عیب و کنترلکننده تحملپذیر عیب بهصورت یکپارچه برای سیستمهای خطی متغیر با زمان ارائه گردیده است. در این روش از یک تخمینگر مبتنی بر رؤیتگر ورودی ناشناخته با کنترلکننده حالت و مد لغزشی به جهت اطمینان از پایداری مقاوم سیستم از طریق حل نامساوی ماتریس خطی استفاده شده است. روش ارائهشده، روی یک سیستم خطی با پارامتر متغیر اعمال گردیده و نتایج شبیهسازی، مؤثربودن این روش برای تخمین عیوب و پایداری سیستم را نشان میدهد.
کلیدواژه: تخمینگر عیب، سیستم خطی پارامتر متغیر، کنترلکننده تحملپذیر عیب، نامساوی ماتریس خطی.
1- مقدمه
وقوع عیب در سیستم، باعث تغییر مشخصات رفتاری اجزای سیستم کنترل بهگونهای میشود که مانع از حرکت در جهت رسیدن به هدف مطلوب میگردد. از این رو استفاده از یک سیستم کنترل تحملپذیر عیب در حوالی کارکرد مطلوب بسیار ضروری است و در غیر این صورت، هنگام شکست2، دیگر سیستم و اجزای آن قادر به تکمیل هدف فرایند نخواهند بود. به عبارت دیگر، کنترلکننده تحملپذیر عیب باعث میشود که عیب واقعشده در سیستم منجر به وقوع یک شکست در فرایند نگردد. سیستمهای تحملپذیر عیب بهصورت گسترده و در زمینههای مختلف از جمله در سیستمهای قدرت، هوافضا، روباتیک و مکانیک استفاده شده است [1] تا [5].
تولید و تکامل سیگنال مانده یک روش برای تشخیص و جداسازی
شکل 1: دیاگرام کلی سیستم تخمین و کنترل تحملپذیر عیب.
عیب میباشد که در تحقیقات بسیاری بررسی شده است. مقاله [6]، یک مسئله طراحی برای بهدستآوردن فیلتر تشخیص و تولید سیگنال مانده در سیستمهای خطی تغییرناپذیر با زمان ارائه کرده است. برای تشخیص و جداسازی عیب برای سیستم غیرخطی از رؤیتگرهای بهره بالا در [7] استفاده شده است.
بهجای استفاده از روشهای سنتی تشخیص و جداسازی عیب، بازسازی سیگنال عیب از طریق یک تخمینگر مبتنی بر رؤیتگر، جایگزینی بسیار قدرتمند است. تخمین عیب، توسعه روشهایی است که برای تشخیص و شناسایی عیب با استفاده از سیگنال مانده تحت تأثیر نامعینی استفاده میگردد. تخمینگر عیب نقشی به اهمیت تشخیص و شناسایی عیب بازی میکند و بهعلاوه، یک روش مستقیم برای بهدستآوردن برخی از اطلاعات مانند اندازه و شدت عیب است و سیگنال تولیدی بهصورت مستقیم جهت جبران تأثیرات عیب و سیستم کنترلی استفاده میشود [8].
مزایای تخمین عیب، توجه بسیاری از محققان را در سالهای اخیر به خود جلب کرده و چندین روش برای کنترل تحملپذیر عیب از طریق سیگنال تخمین ارائه و توسعه یافته است. مفاهیم اولیه تشخیص و جداسازی عیب مبتنی بر رؤیتگر در [9] و [10] بیان شده است. بهجای سیگنال مانده ایدهآل برای تشخیص و جداسازی عیب، یک تخمینگر مقاوم جهت شناسایی عیب در یک سیستم نامعین بهدستآمده است. محققان روشهای تخمین عیب متعددی را بر اساس نوع سیستم، عیوب مختلف و سناریوهای گوناگون ارائه کردهاند که میتوان به رؤیتگر مد لغزشی و رؤیتگر ورودی ناشناخته اشاره نمود [11] تا [15].
با وجود این، رؤیتگر مد لغزشی برای شرایطی مناسب است که تغییرات عیب بهآهستگی صورت پذیرد. همچنین تخمین همزمان عیب عملگری و حسگری توسط رؤیتگر مد لغزشی سختتر میباشد و اطلاعات قبلی مربوط به حد بالای عیوب هم نیاز است. بهعلاوه، مابین تخمینگر عیب و کنترلکننده تحملپذیر عیب، یک تعامل دوسویه مقاوم ناشی از خطای تخمین و عدم قطعیت وجود دارد [16] که موجب بهوجودآمدن چالش طراحی بسیار مهمی گردیده است. این مسئله برای سیستمهای غیرخطی بررسی و توسعه داده شده است [17] تا [20]. شکل 1 ساختار کلی سیستم تخمین و کنترل تحملپذیر عیب را نشان میدهد. از طرف دیگر به دلیل پیچیدگی بسیاری از سیستمهای واقعی مانند غیرخطیبودن و تغییر در مدل و حالات به دلیل تغییر پارامترها، مدل سیستمهای خطی با پارامتر متغیر، زمینه جذابی برای تحقیق و توسعه است. در واقع سیستم خطی با پارامتر متغیر، وابسته به پارامترهای در حال تغییر است و ساختار یک سیستم خطی متغیر با زمان با ماتریسهای وابسته به پارامتر را دارد. در نتیجه، کنترلکننده خطی با پارامتر متغیر میتواند توسعهای از روشهای خطی باشد. اصلیترین مزیت این سیستم، قابلیت استفاده از روشهای قدرتمند کنترل خطی برای سیستمهای غیرخطی پیچیده با تضمین پایداری کلی در کلیه نقاط کار میباشد.
انواع مدلها و روشها کنترلی سیستمهای خطی با پارامتر متغیر در [21] بررسی و دستهبندی شدهاند که روش چندگانه یکی از آنها میباشد. این قابلیت موجب گردیده است تا بسیاری از محققان از این روش در مسائل مختلف کنترلی، بهخصوص کنترل تحملپذیر عیب استفاده نمایند [22] تا [30].
روشی برای طراحی یکپارچه تخمین عیب و کنترل تحملپذیر عیب بهصورت همزمان وجود دارد که در [31] و [32] ارائه شده است؛ جایی که رؤیتگر و کنترلکننده مد لغزشی برای کاهش تأثیرات عیوب و حفظ پایداری استفاده شدهاند. با وجود این همان طور که در [16] بیان شده، طراحی تخمینگر و کنترلگر عیب، زمانی کارایی مناسب حلقه بسته دارد که شرایط ایدهآل بوده و هیچ نامعینی در سیستم نباشد. اما از آنجایی که خطای تخمین و نامعینی در سیستمهای واقعی اجتنابناپذیر هستند، یک تعامل دوسویه مقاوم بین تخمینگر و کنترلکننده عیب وجود دارد و بنابراین کارهایی را که این مورد در نظر گرفته نشده است نمیتوان بهعنوان طراحی یکپارچه توصیف کرد [16].
با درنظرگرفتن پیشزمینه و مطالب ارائهشده، هدف این مقاله توسعه یک روش تخمین و کنترل تحملپذیر عیب واقعی برای سیستم خطی پارامتر متغیر چندگانه میباشد که همراه با نامعینی و اغتشاش است و عیوب عملگری و حسگری، همزمان در حال رخدادن هستند.
نوآوری و ایده اصلی این مقاله در استفاده از رابطه نامساوی ماتریس خطی با حل یکمرحلهای برای بهدستآوردن مقادیر بهره تخمینگر و کنترلکننده تحملپذیر عیب بهصورت مقاوم در یک سیستم خطی پارامتر متغیر است که روش ارائهشده به دلیل درنظرگرفتن نامعینی مقاوم ناشی
از تعامل دوسویه بین تخمینگر و کنترلکننده عیب و وجود نامعینی در سیستم و اغتشاش خروجی، یک طراحی یکپارچه واقعی محسوب میگردد. برای تخمین همزمان عیوب عملگری و حسگری، یک رؤیتگر ورودی ناشناخته بدون درنظرگرفتن شرایط مرتبه استفاده گردیده است. بهعلاوه از یک کنترلکننده مدل لغزشی در کنار کنترلکننده فیدبک حالت به جهت تضمین پایداری مقاوم و کارایی مناسب بهره گرفته شده است.
در ادامه و در بخش دوم، مفاهیم اولیه از سیستمهای خطی پارامتر متغیر بحث و مسئله تعریف گردیده است. بخش سوم به طراحی تخمینگر عیب و کنترلکننده عیب و همچنین طراحی یکپارچه میپردازد. روش ارائهشده در مقاله در بخش چهار بهصورت شبیهسازی نشان داده شده و نهایتاً در بخش پنجم از مطالب و نتایج بهدستآمده، نتیجهگیری به عمل آمده است.
در این مقاله، 
نمایانگر نرم تابع، 
شبه معکوس ماتریس، 
قسمت متقارن ماتریس و 
میباشد.
2- مفاهیم اولیه
2-1 سیستم خطی پارامتر متغیر
یک سیستم خطی پارامتر متغیر بهصورت کلی به شکل رابطه زیر تعریف میگردد
(1)
که 
بردار حالت، 
بردار ورودی، 
بردار خروجی و 
، 
، 
و 
ماتریسهای متناسب وابسته به متغیر 
میباشند. همچنین متغیر 
برداری از تغییرات پارامترهای سیستم در فضای محدب 
است. یکی از روشهای بسیار پرکاربرد در بررسی و تحلیل این سیستمها، روش چندگانه3 (چندوجهی) 1F نام دارد. معادلات سیستم خطی پارامتر متغیر در این روش به صورت زیر در نظر گرفته میشود
(2)
که 
ماتریسهای سیستم خطی هستند که در گوشههای چندوجهی محدب تعریف شدهاند و ضرایب 
برابر هستند با
(3)
و در این عبارت 
تعداد گوشههاست. با فرض این که پارامترها در محدوده 
تغییر میکنند، بردار تغییرات پارامترها در درون یک چندبره با گوشههای 
به شکل زیر تغییر خواهد کرد
(4)
پس بردار در چندبرهای با گوشههای به فرم زیر تعریف میشود
(5)
2-2 تعریف مسئله
با توجه به تعاریف انجامشده، سیستم خطی پارامتر متغیر چندگانه نامعین در حضور عیوب عملگری و حسگری و اغتشاش بهصورت زیر تعریف میگردد
(6)
که ، و به ترتیب بردارهای حالت، ورودی کنترلی و خروجی هستند و همچنین 
اغتشاش، 
عیب عملگری و 
عیب حسگری میباشد. ، 
، ، و ماتریسهای پارامتر وابسته با ابعاد متناسب و 
و 
ماتریسهای ثابت معلوم هستند. مفروضات زیر برای سیستم (6) در نظر گرفته میشود [16] و [33]:
فرض 1: ماتریس یک ماتریس پارامتر مستقل میباشد؛ یعنی 
است.
فرض 2: برای تمامی مقادیر پارامتر ، جفت 
کنترلپذیر است و نیز جفت 
رؤیتپذیر بوده و 
است.
فرض 3: ماتریس نامعین 
دارای نرم محدود است؛ جایی که 
و 
ماتریسهای معلوم متناسب هستند و 
یک ماتریس نامعلوم با برآوردهکردن نامساوی 
میباشد.
فرض 4: سیستم (6) تحت تأثیر 
، 
و 
پایدار بوده و این عیوب و اغتشاش به همراه مشتق اول آنها، انرژی محدود هستند.
سیستم خطی پارامتر متغیر چندگانه، مجموعهای از سیستمهای خطی تغییرناپذیر با زمان است که بهصورت زیر آن را میتوان نشان داد
(7)
برای هر گوشه و مدل خطی تغییرناپذیر با زمان متناظر، مدل سیستم افزونه مبتنی بر سیستم (6) در نظر گرفته میشود
(8)
که مقادیر پارامترها در زیر آمدهاند
نکته 1: از آنجایی که 
برای تمامی 
رؤیتپذیر
بوده و 
است، برای مدل افزونه منجر
خواهد شد به
(9)
در نتیجه تمامی زیرسیستمها و به تبع آن سیستم (8) رؤیتپذیر هستند. برای تخمین حالت افزونه 
در مد 
ام، رؤیتگر ورودی ناشناخته 4(UIO) 2F زیر در نظر گرفته میشود
(10)
که 
و 
متغیرهای حالت مد ام و 
، 
، 
و 
ماتریسهای طراحی هستند. بنابراین تخمینگر چندگانه به صورت زیر قابل نوشتن است
(11)
با فرض خطای تخمین به 
و تعریف ماتریس 
، معادله دینامیکی خطا برابر خواهد شد با
(12)
که 
است.
لم 1: برای تمام ، (12) بدون حضور نامعینی و اغتشاش به صورت مجانبی پایدار است، اگر ماتریس هورویتز5 3F بوده و شرایط زیر برقرار باشد
(13)
اثبات: در شرایط عدم حضور نامعینی و اغتشاش، معادله خطای (12) تبدیل میگردد به
(14)
با توجه به هورویتزبودن ماتریس برای تمام ، حد خطا
است و بنابراین معادله دینامیکی خظا پایدار میباشد. ■
با درنظرگرفتن نامعینی، اغتشاش و شرایط لم 1، دینامیک خطای (12) تبدیل میگردد به
(15)
معادله (15) بیانگر این است که اغتشاش و نامعینی منجر به وجود یک عدم تناسب بین رؤیتگر و سیستم کنترلی میشوند و همین موضوع بر کارایی تخمینگر عیب تأثیر میگذارد. برای تضمین پایداری مقاوم (15)، تنها طراحی ماتریسهای 
و نیاز است و سایر ماتریسها با در نظر گرفتن شرایط لم 1 قابل محاسبه هستند.
برای کنترل تحملپذیر عیب فعال از طریق تخمین عیب، قانون کنترلی زیر در نظر گرفته میشود
(16)
که در آن 
، 
بهره فیدبک کنترل حالت و 
بهره جبرانی عملگر است. با توجه به فرض 2، بهره جبران عملگر را میتوان 
در نظر گرفت. برای یک رؤیتگر پایدار، معادله دینامیک خطا باید صفر شود 
؛ بنابراین سیستم حلقه بسته برای مد ام با 
عبارت است از
(17)
معادله (17) نشانگر چگونگی تأثیر نامعینی و اغتشاش در کارکرد سیستم کنترل و تخمین عیب میباشد؛ بنابراین همان طور که در شکل 2 نشان داده شده است، مابین سیستم کنترل و تخمین، یک تعامل دوسویه مقاوم وجود دارد. به دلیل حضور اجتنابناپذیر نامعین و خطای تخمین، ضروری است که در مسئله طراحی تخمینگر عیب و کنترلکننده تحملپذیر عیب یکپارچه، این تعامل دوسویه در نظر گرفته شود که در روش طراحی جداگانه نادیده گرفته میشود. در نتیجه معادله دینامیک خطای زیر به دست میآید
(18)
جایی که 
خروجی اندازهگیریشده و 
ماتریسی ثابت با ابعاد متناسب است.
قضیه 1: به ازای مقدار مثبت اسکالر 
، معادله خطای (18) پایدار مقاوم 
با 
است، اگر ماتریسهای مثبت معین 
، 
و 
برای تمام وجود داشته باشند به طوری که
(19)
که در این رابطه، 
و 
است.
اثبات: این قضیه به طور مستقیم از لم محدوده حقیقی [34] با در نظر گرفتن 
و 
اثبات میگردد. ■
با وجود رؤیتگر پایدار، دینامیک خطا صفر شده و سیستم کنترلی تبدیل میشود به
(20)
در (20) خروجی کنترلشده با 
و عیب عملگری تخمینشده با 
نشان داده شدهاند. همچنین 
خروجی اندازهگیریشده و 
ماتریس ثابت با ابعداد متناسب است.
قضیه 2: به ازای مقدار مثبت اسکالر 
، سیستم کنترلی (20) پایدار مقاوم با 
است، اگر ماتریسهای مثبت معین 
و 
برای تمام وجود داشته باشند به طوری که
شکل 2: تعامل دوسویه در تخمینگر عیب و کنترلکننده تحملپذیر عیب.
(21)
اثبات: این قضیه به طور مستقیم از لم محدوده حقیقی [34] با در نظر گرفتن و اثبات میگردد. ■
3- تخمین عیب و کنترل تحملپذیر عیب یکپارچه
سیستم حلقه بسته افزونه شامل معادله خطای (18) و معادله کنترلی (20) برای سیستم خطی پارامتر متغیر چندگانه برابر است با
(22)
در این معادله ، 
و به ترتیب خروجی سیستم کنترلی، خروجی اندازهگیریشده و تخمین عیب عملگری میباشد و 
و 
ماتریسهای ثابت با ابعاد متناسب هستند. معادله (22)، یک مسئله کنترل مقاوم مبتنی بر رؤیتگر میباشد که با روش بهینهسازی از طریق نامساوی ماتریس خطی، قابل حل است. برای تخمین مقادیر عیوب 
و 
از یک رؤیتگر مرتبه کاهشیافته مطابق (10) با در نظر گرفتن 
و 
، به صورت رابطه زیر استفاده میشود
(23)
که 
بردار حالت رؤیتگر، 
تخمین 
و ، ، و ماتریسهای طراحی با ابعاد مناسب هستند. با فرض 
میتوان نوشت
(24)
با توجه به لم 1 برای سیستم (6) در حالتی که نامعینی و اغتشاش وجود نداشته و ماتریس هورویتز باشد و همچنین برقراربودن شرایط زیر
شکل 3: ساختار یکپارچه تخمینگر عیب و کنترل تحملپذیر عیب.
(25)
رؤیتگر پایدار (23) به دست خواهد آمد. با توجه به (25) و 
میتوان نوشت 
. با تعریف 
میتوان نوشت
(26)
با ضرب از سمت راست 
در هر دو سمت معادله فوق داریم
(27)
(28)
معادله (28) را میتوان بهصورت 
بازنویسی کرد که با پاسخ عمومی برابر است با [16]
(29)
که در این معادله 
ماتریسهای دلخواه غیر صفر میباشند و بنابراین 
و 
است. همچنین 
و 
با
و 
و 
با
مقادیر 
است. لذا ماتریس 
برای پایدارکردن و
به تبع آن به دست آوردن مقادیر ، و طراحی میشود. با جاگذاری و 
در دینامیک خطای (18) خواهیم داشت
(30)
پس ماتریس باید طوری طراحی گردد که پایداری مقاوم (30) جهت بهدستآوردن رؤیتگر (11) طراحیشده برای سیستم (6) تضمین شود.
3-1 طراحی کنترل تحملپذیر عیب
تأثیر نامعینی و اغتشاش در سیستم کنترلی، اهمیت استفاده از روشهای کنترل مقاوم را بیشتر میکند و استفاده از روش کنترل مد لغزشی، یکی از راهحلها میباشد. برای سیستم بررسیشده، ورودی کنترلی به صورت رابطه 
در نظر گرفته میشود که شامل فیدبک خطی 
با 
و فیدبک غیرخطی
میباشد. سطح لغزش 
برای
با 
، ماتریس دلخواه 
و متغیر اسکالر 
در نظر گرفته میشود. با باقیماندن سیستم کنترلی در سطح لغزش طراحیشده، سیستم حلقه بسته عبارت خواهد شد از
(31)
که در آن 
و 
است. بنابراین سیستم (6) در مد لغزشی با معادل کنترلی طراحیشده باقی خواهد ماند اگر 
بهگونهای طراحی شود که سیستم (31) پایدار مقاوم باشد.
3-2 طراحی سیستم یکپارچه
با درنظرگرفتن معادله دینامیک خطای (30) و سیستم کنترلی (31)، سیستم حلقه بسته افزونه با فرض 
برابر میشود با
(32)
ساختار روش طراحی یکپارچه تخمینگر و کنترل تحملپذیر عیب ارائهشده در شکل 3 آمده است.
قضیه 3: بهازای مقادیر مثبت اسکالر 
، سیستم (32) پایدار مقاوم با 
میباشد، اگر ماتریسهای مثبت معین متقارن 
و 
و ماتریسهای 
، 
و 
وجود داشته باشند به طوری که 
و نامساوی زیر برقرار باشد
(33)
که در این نامساوی ماتریسی 
، 
، 
، 
، 
، 
، 
و 
میباشند. بنابراین مقادیر بهرههای سیستم یکپارچه از طریق روابط 
و 
بهدست میآیند.
اثبات: با درنظرگرفتن تابع لیاپانوف 
و ماتریس مثبت معین متقارن ، این قضیه اثبات میگردد. ■
محدودیت خطی (33) مستقیماً با استفاده از جعبهابزار نامساوی ماتریس
شکل 4: سیگنال تغییرات پارامترهای سیستم.
شکل 5: تخمین عیب عملگری و 
.
شکل 6: خطای تخمین عیب عملگری.
خطی 6(LMI) F4 قابل حل است. همچنین تساوی از طریق تبدیل آن به یک مسئله بهینهسازی ارائهشده در [16] و [35] قابل حل میباشد به طوری که با کمترین مقدار اسکالر مثبت 
نسبت به (33) به شرطی که
(34)
4- شبیهسازی
با درنظرگرفتن مطالب ارائهشده در این مقاله، مثالی عددی از یک سیستم خطی پارامتر متغیر برگرفته از مدل پارامتر متغیر دوچرخ خودرو [36] بهصورت زیر برای سنجش و راستیآزمایی روش ارائهشده در نظر گرفته میشود
(35)
در این سیستم 
پارامتر متغیر میباشد که بین مقادیر 2 تا 4 در حال تغییر است. بردار تغییر سیستم خطی به صورت 
در نظر گرفته میشود؛ بنابراین مدل خطی پارامتر متغیر (35) با بردار تغییرات 
و 
به یک مدل چندگانه تبدیل میگردد که مجموعه برابر است با
(36)
با فرض این که در طول کارکرد سیستم، عیوب جمعی عملگری و
شکل 7: تخمین عیب حسگری و 
.
شکل 8: خطای تخمین عیب حسگری.
حسگری به صورت و با 
و 
همراه با
اغتشاش 
و با مقادیر عیوب و زیر به سیستم اعمال میگردد
(37) رابطه پایین 2 مساوی داشت
تمامی فرضهای ذکرشده برای سیستم (35) صادق هستند. به علاوه 
مقدار اولیه سیستم، 
، 
، 
و 
در نظر گرفته میشوند. پارامتر اسکالر با استفاده از روشهای بهینهسازی عددی برای رسیدن به بهترین پاسخ به دست آمده است. برای سیستم (35) و فرضیات ذکرشده بر اساس روش ارائهشده با حل ماتریس نامساوی خطی (33) به ازای مقادیر مجموعه خواهیم داشت
(38)
و
(39)
با استفاده از مقادیر بهدستآمده فوق از حل ماتریس نامساوی خطی، بهرههای کنترلکننده و رؤیتگر سیستم یکپارچه با جایگذاری در روابط و بهدست میآیند. نتایج شبیهسازی در شکلهای 4 تا 10 نشان داده شده است. با توجه به نتایج برای سیستم خطی پارامتر متغیر در نظر گرفته شده به همراه اعمال عیوب عملگری و
شکل 9: خروجی سیستم، متغیر حالت اول 
.
شکل 10: خروجی سیستم، متغیر حالت دوم 
.
حسگری همزمان و در کنار اغتشاش، سیستم تخمین و کنترل یکپارچه طراحیشده با قابلیت تخمین عیب و پایدارسازی سیستم به صورت مقاوم در حضور نامعینی، همراه است. تغییرات ناگهانی و شدید در زمانهای 
و 
ناشی از تغییر ناگهانی و شدید در سیگنال عیوب مفروض میباشد. همان طور که در نتایج شبیهسازی قابل مشاهده است، این تغییرات به سرعت توسط روش ارائهشده، تشخیص داده میشود و در زمان اندکی به مقدار واقعی عیب متمایل میگردد. بنابراین تخمینگر مبتنی بر رؤیتگر به خوبی و سریع قابلیت بازسازی سیگنالهای عیب
را دارد و سیستم کنترلی با استفاده از سیگنال عیوب تخمینزدهشده، سیستم حلقه بسته را که همزمان در معرض نامعینی و اغتشاش قرار دارد، کنترل مینماید.
5- نتیجهگیری
در این مقاله روشی برای تخمین و کنترل وقوع عیب عملگری و حسگری که بهصورت همزمان هستند برای یک سیستم نامعین و در حضور اغتشاش با استفاده از طراحی یک تخمینگر عیب و کنترلکننده تحملپذیر عیب بهصورت یکپارچه برای سیستمهای خطی متغیر با زمان ارائه شده است. در این روش از تخمینگر مبتنی بر رؤیتگر ورودی ناشناخته همراه با کنترلکننده حالت و کنترلکننده مد لغزشی به جهت اطمینان از پایداری مقاوم سیستم از طریق حل نامساوی ماتریس خطی استفاده شده است. روش ارائهشده، روی یک سیستم خطی با پارامتر متغیر چندگانه اعمال گردیده و نتایج شبیهسازی، تأثیر این روش را برای تخمین عیوب و پایداری سیستم نشان میدهند. ارائه روشی برای کنترل ردیابی ورودی مرجع و کنترل تحملپذیر عیب برای سیستمهای خطی با پارامتر متغیر به همراه تأخیر را میتوان بهعنوان کارهای آینده پیشنهاد داد.
مراجع
[1] P. A. Moradmand and H. Khaloozadeh, "An experimental study of modeling and self-tuning regulator design for an electro-hydro servo-system," in Proc. 5th IEEE Int. Conf. on Control, Instrumentation, and Automation, ICCIA'17, pp. 126-131, Shiraz, Iran, 21-23 Nov. 2017.
[2] M. Dorostian and A. Moradmand, "Hierarchical robust model-based predictive control in supply chain management under demand uncertainty and time-delay," in Proc. 7th IEEE Int. Conf. on on Control, Instrumentation and Automation, ICCIA'21, 6 pp., Tabriz, Iran, 23-24 Feb. 2021.
[3] A. Moradmand, M. Dorostian, and B. Shafai, "Energy scheduling for residential distributed energy resources with uncertainties using model-based predictive control," International J. of Electrical Power & Energy Systems vol. 132, Article ID: 107074, Nov. 2021.
[4] A. Oloomi and H. Khanmirza, "Fault tolerance of RTMP protocol for live video streaming applications in hybrid software-defined networks," J. of Electrical and Computer Engineering Innovations, vol. 7, no. 2, pp. 241-250, Jul. 2019.
[5] S. Khodakaramzadeh, M. Ayati, and M. R. Hairi-Yazdi, "Fault diagnosis of a permanent magnet synchronous generator wind turbine," J. Electr. Comput. Eng. Innovations, vol. 9, no. 2, pp. 143-152, Jul. 2021.
[6] M. A. Massoumnia, "A geometric approach to the synthesis of failure detection filters," IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 31, no. 9, pp. 839-846, Sept. 1986.
[7] H. Hammouri, M. Kinnaert, and E. H. El Yaagoubi, "Observer-based approach to fault detection and isolation for nonlinear systems," IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 44, no. 10, pp. 1879-1884, Oct. 1999.
[8] M. Blanke, M. Kinnaert, J. Lunze, M. Staroswiecki, and J. Schröder, Diagnosis and Fault-Tolerant Control, vol. 2, Berlin: Springer, 2006.
[9] R. J. Patton and J. Chen, "Observer-based fault detection and isolation: robustness and applications," Control Engineering Practice, vol. 5, no. 5, pp. 671-682, May 1997.
[10] J. Chen and Ron J. Patton, Robust Model-Based Fault Diagnosis for Dynamic Systems, Kluwer AcademicPublishers, USA, 1999.
[11] C. Nie and R. J. Patton, "Fault estimation and MRC-based active FTC," IFAC Proceedings Volumes, vol. 44, no. 1, pp. 14808-14813, Jan. 2011.
[12] P. Shi, M. Liu, and L. Zhang, "Fault-tolerant sliding-mode-observer synthesis of Markovian jump systems using quantized measurements," IEEE Trans. on Industrial Electronics, vol. 62,
no. 9, pp. 5910-5918, Sept. 2015.
[13] L. Yao and L. Feng, "Fault diagnosis and fault tolerant tracking control for the non-Gaussian singular time-delayed stochastic distribution system with PDF approximation error," Neurocomputing, pt. A, vol. 175, pp. 538-543, Jan. 2016.
[14] X. Li and F. Zhu, "Fault‐tolerant control for Markovian jump systems with general uncertain transition rates against simultaneous actuator and sensor faults," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 27, no. 18, pp. 4245-4274, Dec. 2017.
[15] M. Zhong, S. X. Ding, J. Lam, and H. Wang, "An LMI approach to design robust fault detection filter for uncertain LTI systems," Automatica, vol. 39, no. 3, pp. 543-550, Mar. 2003.
[16] J. Lan and R. J. Patton, "A new strategy for integration of fault estimation within fault-tolerant control," Automatica, vol. 69, pp. 48-59, Jul. 2016.
[17] J. Lan and R. J. Patton, "Integrated fault estimation and fault‐tolerant control for uncertain Lipschitz nonlinear systems," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 27, no. 5, pp. 761-780, Mar. 2017.
[18] J. Lan and R. J. Patton, "Integrated design of fault-tolerant control for nonlinear systems based on fault estimation and T-S fuzzy modeling," IEEE Trans. on Fuzzy Systems, vol. 25, no. 5, pp. 1141-1154, Oct. 2016.
[19] X. Li, D. Lu, G. Zeng, J. Liu, and W. Zhang, "Integrated fault estimation and non-fragile fault-tolerant control design for uncertain Takagi-Sugeno fuzzy systems with actuator fault and sensor fault," IET Control Theory & Applications, vol. 11, no. 10, pp. 1542-1553, Jul. 2017.
[20] Y. Liu and G. H. Yang, "Integrated design of fault estimation and fault-tolerant control for linear multi-agent systems using relative outputs," Neurocomputing, vol. 329, pp. 468-475, Feb. 2019.
[21] C. Hoffmann and H. Werner, "A survey of linear parameter-varying control applications validated by experiments or high-fidelity simulations," IEEE Trans. on Control Systems Technology, vol. 23, no. 2, pp. 416-433, Mar. 2014.
[22] A. Casavola, D. Famularo, and G. Franze, "A feedback min-max MPC algorithm for LPV systems subject to bounded rates of change of parameters," IEEE Trans. on Automatic Control, vol. 47, no. 7, pp. 1147-1153, Jul. 2002.
[23] G. Gagliardi, A. Casavola, and D. Famularo, "A fault detection
and isolation filter design method for Markov jump linear parameter‐varying systems," International J. of Adaptive Control and Signal Processing, vol. 26, no. 3, pp. 241-257, Mar. 2012.
[24] A. Casavola, D. Famularo, and G. Gagliardi, "A linear parameter varying fault detection and isolation method for internal combustion spark ignition engines," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 24, no. 14, pp. 2018-2034, Sept. 2014.
[25] M. Rodrigues, D. Theilliol, S. Aberkane, and D. Sauter, "Fault tolerant control design for polytopic LPV system," International J. of Applied Mathematics and Computer Science, vol. 17, no. 1, pp. 27-37, 2007.
[26] R. J. Patton, L. Chen, and S. Klinkhieo, "An LPV pole-placement approach to friction compensation as an FTC problem," International J. of Applied Mathematics and Computer Science,
vol. 22, no. 1, pp. 149-160, Mar. 2012.
[27] F. Shi and R. J. Patton, "Fault estimation and active fault tolerant control for linear parameter varying descriptor systems," International J. of Robust and Nonlinear Control, vol. 25, no. 5, pp. 689-706, Mar. 2015.
[28] M. M. Seron and J. A. De Doná, "Robust fault estimation and compensation for LPV systems under actuator and sensor faults," Automatica, vol. 52, pp. 294-301, Feb. 2015.
[29] K. P. B. Chandra, H. Alwi, and C. Edwards, "Fault detection in uncertain LPV systems with imperfect scheduling parameter using sliding mode observers," European J. of Control, vol. 34, pp. 1-15, Mar. 2017.
[30] H. Rezaei and M. J. Khosrowjerdi, "A polytopic LPV approach to active fault tolerant control system design for three-phase induction motors," International J. of Control, vol. 90, no. 10, pp. 2297-2315, Jun. 2017.
[31] S. Varrier, D. Koenig, and J. J. Martinez, "Integrated fault estimation and fault tolerant control design for lpv systems," IFAC Proceedings Volumes, vol. 46, no. 2, pp. 689-694, 2013.
[32] R. Tayari, A. Ben Brahim, F. Ben Hmida, and A. Sallami, "Active fault tolerant control design for LPV systems with simultaneous actuator and sensor faults," Mathematical Problems in Engineering, vol. 2019, Article ID 5820394, 14 pp., 2019.
[33] P. Apkarian, P. Gahinet, and G. Becker, "Self-scheduled H∞ control of linear parameter-varying systems: a design example," Automatica, vol. 31, no. 9, pp. 1251-1261, Sept. 1995.
[34] B. D. Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis: A Modern Systems Theory Approach, Dover Publications, New York, USA, 2006.
[35] M. Corless and J. A. Y. Tu, "State and input estimation for a class of uncertain systems," Automatica, vol. 34, no. 6, pp. 757-764, Jun. 1998.
[36] S. Mammar and D. Koenig, "Vehicle handling improvement by active steering," Vehicle System Dynamics, vol. 38, no. 3, pp. 211-242, 2002.
هوشنگ جعفری تحصيلات خود را در مقاطع كارشناسي و كارشناسي ارشد مهندسی برق با گرایش کنترل بهترتيب در سالهاي 1390 و 1392 از دانشگاه تبریز و در مقطع دكتري مهندسی برق کنترل در سال 1401 از دانشگاه تربیت مدرس تهران به پايان رسانده است. زمينههاي تحقيقاتي مورد علاقه ايشان عبارتند از: کنترل مقاوم و غیرخطی، هدایت و ناوبری، کنترل تحملپذیر عیب، یادگیری ماشین و عمیق.
امین رمضانی در سال 1380 مدرك كارشناسي مهندسي برق خود را با گرایش کنترل از دانشگاه شهید بهشتی و در سال 1382 مدرك كارشناسي ارشد مهندسي برق با گرایش کنترل خود را از دانشگاه صنعتي شريف دريافت نمود و در سال 1390 موفق به اخذ درجه دكتری در مهندسي برق کنترل از دانشگاه تهران گرديد. ایشان در حال حاضر دانشیار دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر دانشگاه تربیت مدرس تهران بوده و مدیر آزمایشگاه سیستمهای کنترل پیشرفته و همچنین رئیس مرکز تحقیقاتی آزمایشگاه کنترل و امنیت شبکه صنعتی مبتنی بر اینترنت اشیا میباشد. دکتر رمضانی محقق مدعو با گروه مهندسی برق دانشگاه صنعتی چالمرز در گوتنبرگ سوئد سال ۲۰۱۱ و محقق مدعو با دانشگاه CWRU کلیولند اوهایو ایالات متحده آمریکا در سال ۲۰۱۹ بوده است. ایشان ویراستار و داور در بیش از ۱۰ مجله و کنفرانس معتبر بینالمللی و نویسنده بیش از 200 مقاله ژورنال و کنفرانس میباشند.
مهدي فروزانفر در سال 1388 مدرک كارشناسي ارشد در رشته مهندسي برق با گرایش کنترل از دانشگاه صنعتی امیرکبیر اخذ کرده و در سال 1396 مدرك دکتری مهندسي برق کنترل خود را از دانشگاه صنعتی سهند تبریز دريافت نمود. دکتر فروزانفر عضو هیأت علمی گروه کنترل دانشکده مهندسی برق و کامیپیوتر دانشگاه آزاد اهواز میباشند. زمينههاي علمي مورد علاقه ایشان شامل موضوعاتي مانند کنترل تحملپذیر عیب، کنترل بهینه، شناسایی سیستمها، هوش مصنوعی و سیستمهای فیزیکی-سایبری ميباشد.
[1] این مقاله در تاریخ 28 آذر ماه 1400 دریافت و در تاریخ 9 شهریور ماه 1401 بازنگری شد.
هوشنگ جعفری، دانشكده مهندسي برق و كامپيوتر، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران، (email: hooshang.jafari@modares.ac.ir).
امین رمضانی (نویسنده مسئول)، دانشكده مهندسي برق و كامپيوتر، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران، (email: ramezani@modares.ac.ir).
مهدی فروزانفر، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه آزاد اسلامی واحد اهواز، اهواز، ایران، (email: m.forouzanfar@iauahvaz.ac.ir).
[2] . Failure
[3] . Polytopic
[4] . Unknown Input Observer
[5] . Hurwitz
[6] . Linear Matrix Inequality