• صفحه اصلی
  • طراحی گیرنده بهینه و تخصیص توان در رادارهای آرایه‌ای فازی چندورودی- چندخروجی‌ تنوع فرکانسی در محیط با کلاتر ناهمگن

اشتراک گذاری

آدرس مقاله


کد مقاله : 14000421274222 بازدید : 2023 صفحه: 255 - 267

نوع مقاله: پژوهشی

طراحی گیرنده بهینه و تخصیص توان در رادارهای آرایه‌ای فازی چندورودی- چندخروجی‌ تنوع فرکانسی در محیط با کلاتر ناهمگن

محورهای موضوعی : مهندسی برق و کامپیوتر

حمیدرضا فتوحی فیروزآباد 1 , سید مهدی حسینی اندارگلی 2 * , حسین قانعی یخدان 3 , جمشید ابویی 4

1 - دانشکده مهندسی برق، دانشگاه یزد
2 - دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل
3 - دانشکده مهندسی برق، دانشگاه یزد
4 - دانشکده مهندسی برق، دانشگاه یزد

تاریخ دریافت : 1400/04/21 تاریخ پذیرش : 1401/12/21 تاریخ انتشار : 1402/12/27

کلید واژه: رادارهای چندورودی- چندخروجی آرایه فازی, آشکارساز بهینه, کلاتر ناهمگن, تخصیص توان,

چکیده مقاله :

در سال‌های اخیر، رادارهای آرایه فازی چندورودی- چندخروجی به‌شدت مورد توجه محققان قرار گرفته است. در واقع در این رادارها می‌‌توان مزایای رادارهای آرایه فازی و رادارهای چندورودی- چندخروجی را با هم ترکیب کرد. در اینجا فرض می‌‌شود که زیرآرایه‌‌ها دارای بهره‌‌ چندگانگی فرکانسی بوده و از بهره‌‌ همدوسی کامل برخوردارند. ابتدا در این مقاله به موضوع طراحی آشکارساز بهینه برای رادارهای آرایه فازی چندورودی- چندخروجی بر پایه‌ فرض شناخت ضریب انعکاس هدف در حضور کلاتر ناهمگن پرداخته می‌شود. در ادامه بر پایه آشکارساز‌‌های استخراج‌شده، احتمال آشکارسازی و احتمال هشدار کاذب محاسبه شده و به شکل فرمول بسته بر حسب پارامترهای رادار و محیط ارائه می‌گردد. سپس مسأله تخصیص توان به سیگنال‌های متعامد برای بیشینه‌کردن احتمال آشکارسازی فرمول‌‌بندی می‌‌شود. نهایتاً موضوع بهره چندگانگی فرکانسی مورد تجزیه و تحلیل ریاضی قرار گرفته و کرانی برای بهره چندگانگی ارائه می‌‌گردد. شبیه‌‌سازی‌‌های عددی نشان می‌‌دهند که آشکارسازهای بهینه استخراج‌شده، یک فیلتر توأم فضایی- زمانی خواهد بود که به‌طور مؤثری باعث تضعیف کلاتر در رادارهای آرایه فازی چند‌‌ورودی- چند‌‌خروجی می‌‌گردد. همچنین نشان می‌‌دهند که الگوریتم‌‌های تخصیص توان باعث بهبود عملکرد آشکارسازی اهداف در مقایسه با الگوریتم‌‌های معیار می‌‌گردد.

چکیده انگلیسی:

In recent years, Phased-Multiple-Input, Multiple-Output radars (PMRs) have attracted great interest. PMR can combine the advantages of both MIMO radar and phased array radar. Here, PMR transmits orthogonal signals from all subarrays to provide both waveform frequency diversity and high coherent processing gain. In this paper dealt with detector design in the presence of heterogeneous clutter based on the unknown scattering coefficients for PMR. Then, detection probability and false-alarm probability are computed based on the derived optimum detector. At the end, the power allocation problem is investigated analytically. The numerical simulations show that obtained optimal detector is joint spatial-temporal filter, which, the clutters are effectively weakened in PMR. Furthermore, simulation results illustrate that proposed power allocation algorithm improve detection performance of PMR in comparison with PR and equal power PMR.

منابع و مأخذ:

[1] E. Brookner, "Phased array radars-past, present and future," in Proc. RADAR'02, pp. 104-113, Edinburgh, UK, 15-17 Oct. 2002.
[2] J. Li and P. Stoica, "MIMO radar with colocated antennas," IEEE Signal Processing Magazine, vol. 24, no. 5, pp. 106-114, Sep. 2007.
[3] E. Fishler, A. Haimovich, R. S. Blum, L. J. Cimini, D. Chizhik, and R. A. Valenzuela, "Spatial diversity in radars-models and detection performance," IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 54, no. 3, pp. 823-838, Mar. 2006.
[4] J. Li and P. Stoica, MIMO Radar Signal Processing, New York: Wiley, vol. 7, 2009.
[5] A. Hassanien and S. A. Vorobyov, "Phased-MIMO radar: a tradeoff between phased-array and MIMO radars," IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 58, no. 6, pp. 3137-3151, Jun. 2010.
[6] M. Jankiraman, FMCW Radar Design, Artech House, 2018.
[7] Q. He, N. H. Lehmann, R. S. Blum, and A. M. Haimovich, "MIMO radar moving target detection in homogeneous clutter," IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 46, no. 3, pp. 1290-1301, Jul. 2010.
[8] T. Zhang, G. Cui, L. Kong, and X. Yang, "Adaptive bayesian detection using MIMO radar in spatially heterogeneous clutter," IEEE Signal Processing Letters, vol. 20, no. 6, pp. 547-550, Jun. 2013.
[9] M. Ahmadi and K. Mohamedpour, "Space-time adaptive processing for phased-multiple-input-multiple-output radar in the non-homogeneous clutter environment," IET Radar, Sonar & Navigation, vol. 8, no. 6, pp. 585-596, Jul. 2014.
[10] X. Yu, G. Cui, J. Yang, and L. Kong, "MIMO radar transmit-receive design for moving target detection in signal-dependent clutter," IEEE Trans. on Vehicular Technology, vol. 69, no. 1, pp. 522-536, Jan. 2020.
[11] A. J. Bogush, "Correlated clutter and resultant properties of binary signals," IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 9, no. 2, pp. 208-213, Mar. 1973.
[12] K. Schacke, On the Kronecker Product, Master's Thesis, University of Waterloo, 2004.
[13] H. L. Van Trees, Detection, Estimation, and Modulation Theory, Pt. 1, New York: Wiley, 1968.
[14] M. J. Ghoreishian, S. M. Hosseini Andargoli, and F. Parvari, "Power allocation in MIMO radars based on LPI optimisation and detection performance fulfilment," IET Radar, Sonar & Navigation, vol. 14, no. 6, pp. 822-832, 2020.
[15] J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, New York, McGraw-Hill, vol. 4, 2001.
[16] F. E. Nathanson, J. P. Reilly, and M. N. Cohen, Radar Design Principles: Signal Processing and the Environment, NASA STI/Recon Technical Report A, USA, 1991.
[17] S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.
متن کامل:
معرفي يک روش جديد خوشه‌يابي خودکار

نشریه مهندسی برق و مهندسی کامپیوتر ایران، الف- مهندسی برق، سال 21، شماره 4، زمستان 1402  255

مقاله پژوهشی

طراحی گیرنده بهینه و تخصیص توان در رادارهای آرایه‌ای فازی چندورودی- چندخروجی‌ تنوع فرکانسی در محیط با کلاتر ناهمگن

حمیدرضا فتوحی فیروزآباد، سید مهدی حسینی اندارگلی، حسین قانعی یخدان و جمشید ابویی

 

 

1 

چکیده: در سال‌های اخیر، رادارهای آرایه فازی چندورودی- چندخروجی به‌شدت مورد توجه محققان قرار گرفته است. در واقع در این رادارها می‌‌توان مزایای رادارهای آرایه فازی و رادارهای چندورودی- چندخروجی را با هم ترکیب کرد. در اینجا فرض می‌‌شود که زیرآرایه‌‌ها دارای بهره‌‌ چندگانگی فرکانسی بوده و از بهره‌‌ همدوسی کامل برخوردارند. ابتدا در این مقاله به موضوع طراحی آشکارساز بهینه برای رادارهای آرایه فازی چندورودی- چندخروجی بر پایه‌ فرض شناخت ضریب انعکاس هدف در حضور کلاتر ناهمگن پرداخته می‌شود. در ادامه بر پایه آشکارساز‌‌های استخراج‌شده، احتمال آشکارسازی و احتمال هشدار کاذب محاسبه شده و به شکل فرمول بسته بر حسب پارامترهای رادار و محیط ارائه می‌گردد. سپس مسأله تخصیص توان به سیگنال‌های متعامد برای بیشینه‌کردن احتمال آشکارسازی فرمول‌‌بندی می‌‌شود. نهایتاً موضوع بهره چندگانگی فرکانسی مورد تجزیه و تحلیل ریاضی قرار گرفته و کرانی برای بهره چندگانگی ارائه می‌‌گردد. شبیه‌‌سازی‌‌های عددی نشان می‌‌دهند که آشکارسازهای بهینه استخراج‌شده، یک فیلتر توأم فضایی- زمانی خواهد بود که به‌طور مؤثری باعث تضعیف کلاتر در رادارهای آرایه فازی چند‌‌ورودی- چند‌‌خروجی می‌‌گردد. همچنین نشان می‌‌دهند که الگوریتم‌‌های تخصیص توان باعث بهبود عملکرد آشکارسازی اهداف در مقایسه با الگوریتم‌‌های معیار می‌‌گردد.

 

کلیدواژه: رادارهای چندورودی- چندخروجی آرایه فازی، آشکارساز بهینه، کلاتر ناهمگن، تخصیص توان.

1-       مقدمه

فناوری رادار در طول هشت دهه‌‌ای که از پیدايش آن می‌‌گذرد پیوسته در حال توسعه بوده و در رادارهای آرايه‌ای از چندين آنتن برای ارسال و دريافت سیگنال‌ها استفاده می‌‌شود. در نوع قديمی رادار چندآنتنه که به رادار آرايه فازی معروف هستند، از يک شکل موج ارسالی برای بهره‌گیری از پردازش همدوس سیگنال‌‌ها در آرايه‌های فرستنده و گیرنده استفاده می‌گردد. در چند سال اخیر، رادارهای چندورودی- چندخروجی که از چند آنتن برای ارسال شکل موج‌های متعامد و چند آنتن برای دريافت سیگنال‌های بازگشتی از هدف استفاده می‌کنند، حجم وسیعی از تحقیقات در حوزه رادار را به خود اختصاص داده‌اند. رادارهای آرایه فازی به دلیل امکان اسکن الکترونیکی فضا که فراهم می‌‌کنند بسیار مورد توجه قرار گرفته‌‌اند. این امکان باعث می‌‌شود محدودیت‌‌های زمانی که برای چرخش پرتو در رادارهای تک‌آنتنی داشتند از بین برود و قادر باشند در چندین میکروثانیه، الگوی پرتو تشعشعی رادار را عوض کرد. همچنین قادر خواهند بود در یک زمان مشخص، چندین بیم را تحت پوشش قرار دهند. در این رادارها می‌توان به حداکثر بهره مجموع همدوس سیگنال‌‌ها دست یافت. در عین حال این رادارها از مشکلاتی نیز رنج می‌‌برند؛ به دلیل شرایط انتشار، ممکن است برخی از سیگنال‌های راداری به‌شدت مورد تضعیف قرار گیرند که باعث افت عملکرد آشکارسازی خواهد شد [1]. با شروع قرن 21، ارتقای سیستم‌‌های راداری وارد فاز جدیدی گردید و بحث‌‌های تحقیقاتی رادارهای چندورودی- چندخروجی با شتاب خوبی آغاز شد. ایده این رادارها به این صورت است که از تعدادی گیرنده و فرستنده استفاده می‌‌شود که هر فرستنده اقدام به ارسال یک سیگنال مشخص می‌‌کند که این سیگنال‌‌ها معمولاً عمود بر یکدیگر هستند. این سیگنال‌‌ها در گیرنده دریافت می‌‌شوند و با پردازش‌‌هایی که در این رادارها انجام می‌‌گردد قادر خواهند بود به حد تفکیک بهتر زاویه‌‌ای و همچنین تعداد اهداف بیشتر برای آشکارسازی دست یافت [2] و [3].

رادار چندورودی- چندخروجی دارای چند فرستنده و چند گیرنده برای ارسال و دریافت سیگنال است. این آنتن‌ها می‌توانند به هم نزدیک باشند و یا در فواصل دور از هم قرار گیرند. المان‌های فرستنده در رادار چندورودی- چندخروجی می‌توانند شکل موج‌های متفاوتی را برخلاف رادار آرایه فازی ارسال نمایند. این شکل موج‌ها متعامد بوده و بین آنها درجه همبستگی کمی وجود دارد. رادارهای چندورودی- چندخروجی در حالت کلی به دو صورت قابل پیاده‌‌سازی هستند؛ در حالت اول، رادار از تعدادی فرستنده که به اندازه کافی دور از یکدیگر هستند، استفاده می‌کند. علاوه ‌بر این، گیرنده‌‌های رادار نیز وضعیت مشابهی خواهند داشت که به این نوع رادارها، رادارهای چندورودی- چندخروجی توزیع‌یافته می‌‌گویند. مزایای این نوع پیاده‌سازی آن است که با توجه به اینکه فرستنده‌‌های رادار از یکدیگر فاصله دارند هنگامی که به سمت یک هدف یک سیگنال مشخص و یکسان تشعشع می‌‌کنند، در صورتی که یکی از سیگنال‌‌ها دچار محوشدگی (فیدینگ) مخرب شود، احتمال اینکه سایر سیگنال‌‌ها نیز به چنین وضعیتی دچار شوند بسیار ضعیف است. چنین حالتی در حقیقت از چندگانگی فضایی استفاده می‌‌کند. با توجه به وجود چندین گیرنده در رادار که در فواصل دور قرار دارند واضح است که چندگانگی از مرتبه بالایی برخوردار خواهد بود که باعث می‌‌شود عدم آشکارسازی به واسطه محوشدگی مخرب وجود نداشته باشد و یا اینکه به حداقل میزان ممکن برسد. مشکل این گونه رادارهای چندورودی- چندخروجی آن است که با این ساختار، جمع همدوس سیگنال‌های راداری امکان‌‌پذیر نخواهد بود و برای جبران آن بایستی زمان بیشتری بر روی هدف تابش داشته باشد و یا اینکه انرژی ارسالی به سمت هدف را افزایش داد که هر یک از این راهکارها مشکلات مخصوص به خود را دارند [4]. نوع دیگر رادارهای چندورودی- چندخروجی به این صورت است که آنتن‌‌های فرستنده و گیرنده تقریباً در یک مکان قرار دارند و با فاصله کوچکی از یکدیگر جدا شده‌‌اند. در این رادارها چندین سیگنال متعامد به سمت هدف ارسال می‌‌شود و با توجه به ماهیت این سیگنال‌‌ها قادر خواهند بود که از خاصیت چندگانگی به نوع دیگر استفاده کرد.

رادارهای آرايه فازی برخلاف رادارهای چندورودی- چندخروجی از يک شکل موج برای ارسال استفاده می‌کنند و تنها، نسخه‌های تأخیر فاز يافته از همان شکل موج از آنتن‌های مختلف به‌صورت همدوس ارسال می‌شوند. بنابراين پردازش همدوس رادار آرايه فازی را قادر به ارسال توان به منطقه خاصی از فضا می‌کند. اين رادارها از ساختار ساده‌تری نیز نسبت به رادارهای چندورودی- چندخروجی برخوردارند. مزایایی که رادارهای آرایه فازی برای ما فراهم می‌‌کنند این است که جمع‌بندی همدوس سیگنال‌ها امکان‌پذیر خواهد بود. همچنین این نوع رادارها از مشکلاتی رنج می‌‌برند که این مشکلات در رادارهای چند‌‌ورودی- چندخروجی برطرف شده‌‌اند. در رادارهای چندورودی-چندخروجی این امکان وجود ندارد که از بهره‌‌ی همدوسی در فرستنده استفاده گردد.

اخیراً تلاش‌‌هایی برای ترکیب رادارهای چندورودی- چندخروجی تجمعی و رادارهای آرايه فازی تحت عنوان چندورودی- چندخروجی آرايه فازی صورت گرفته است [5]. هدف اين تلاش‌‌ها مصالحه میان رادارهای آرايه فازی و چندورودی- چندخروجی است. در ساختار رادارهای آرایه فازی، تمام آرایه‌ها به تعدادی زیرآرایه تقسیم می‌شوند. آنتن‌‌های زیرآرایه‌‌ها می‌توانند با یکدیگر اشتراک داشته باشند و از طرفی، هر زیرآرایه به‌عنوان یک رادار آرایه فازی عمل می‌کند و با انتخاب مناسب وزن‌‌های هر زیرآرایه، شکل‌دهی پرتو به سمت خاص انجام می‌‌گیرد. کلیه زیرآرایه‌‌ها می‌‌بایست پرتوی خود را به یک سمت تشکیل دهند. برای داشتن خاصیت چندورودی- چندخروجی، هر یک از زیرآرایه‌ها، یک سیگنال با شکل موج مشخص ارسال می‌‌کند. همان طور که گفته شد سیگنال زیرآرایه‌‌های مختلف بر یکدیگر عمود هستند که در این حالت، خاصیت چندورودی- چندخروجی‌بودن ایجاد می‌‌گردد.

یکی از موضوعات پراهمیت در بررسی کارکرد سیستم‌‌های راداری، بررسی تأثیر کلاترها بر روی عملکرد آنها می‌باشد. کلاترها در واقع سیگنال‌‌های بازگشتی از اهداف ناخواسته‌‌ای همچون کوه‌‌ها، موانع طبیعی و ... هستند که همگی از سطوح ناصاف و ریز تشکیل شده‌‌اند و این باعث به‌وجودآمدن بازگشتی‌‌های نامنظم و تصادفی از سطوح مختلف می‌‌گردد [6]. این عدم قطعیت می‌‌تواند به‌صورت مدل‌‌های آماری بر اساس شرایط مختلف محیطی توصیف گردد. علاوه ‌بر این، توزیع فضایی کلاترها و همچنین رفتار دینامیکی آنها باعث به‌وجودآمدن تأثیرات متنوعی بر روی فرایند آشکارسازی در سیستم‌‌های راداری می‌‌شود. با توجه به نحوه توزیع مکانی کلاترها در فضا، کلاترها معمولاً به کلاترهای نقطه‌‌ای، سطحی و حجمی دسته‌‌بندی می‌‌شوند. کلاترهای نقطه‌‌ای به مانند ساختمان بلند و کوه‌‌ها که در زاویه خاص و در یک فاصله مشخص از سیستم راداری قرار دارند. علاوه بر این، توزیع فضایی کلاترها بر روی تحلیل سیگنال‌‌های کلاتری دریافتی در گیرنده‌‌های راداری نیز اثر می‌‌گذارد. از دید گیرنده‌‌های راداری جهت تحلیل سیگنال‌‌های کلاتری، انواع توزیع فضایی کلاترها را در دو دسته کلی کلاترهای همگن و ناهمگن دسته‌‌بندی می‌‌کنند. کلاترهای همگن، کلاترهایی هستند که در سلول برد‌‌های مختلف دارای سطح توان تقریباً یکسان می‌باشند. کلاترهایی با توزیع یکنواخت سطحی و حجمی بیشتر در این دسته قرار می‌‌گیرند. بنابراین از دید گیرنده‌‌های راداری، سیگنال‌‌های کلاتری دریافتی از نوع همگن، معمولاً مستقل از چینش‌‌های آنتنی سیستم‌‌های راداری هستند. از طرفی کلاترهای ناهمگن با توزیع غیریکنواخت در فضا می‌‌باشند که این توزیع غیریکنواخت، باعث به‌وجودآمدن کلاترهایی با توزیع غیریکنواخت دامنه در سلول بردهای مختلف می‌‌گردد. کلاترهای نقطه‌‌ای در این دسته کلاترها قرار دارند [6].

در مرجع [7]، آشکارسازی اهداف متحرک در حضور کلاتر در رادارهای چندورودی- چندخروجی (MIMO) با استفاده از آنتن‌های گسترده مورد مطالعه قرار گرفته است. برای آشکارسازی هدف با داپلر کوچک، دو آشکارساز از نوع متمرکز و یک آشکارساز از نوع گسترده برای آشکارسازی اهداف در این مقاله مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند و در هر دو نوع آشکارساز متمرکز و گسترده از آزمون GLRT استفاده می‌‌شود. منظور از آشکارساز متمرکز، آشکارسازی است که در آن سیگنال همه جفت‌های فرستنده- گیرنده به‌صورت یک بردار تجمیعی در یک مرکز پردازش سیگنال مورد تحلیل و پردازش قرار می‌گیرد و آشکارسازی هدف انجام می‌شود. در مقابل، آشکارساز گسترده که آشکارساز محلی هم نامیده می‌شود، نوعی آشکارساز هستند که در آن، هر گیرنده تصمیم‌گیر در مورد وجود یا عدم وجود هدف تصمیم‌گیری می‌کند، سپس نتایج به‌دست‌آمده در یک مرکز پردازش داده با هم ترکیب می‌گردند. علی‌رغم پیچیدگی کمتر آشکارساز محلی (تصمیم‌‌گیری نرم) نسبت به آشکارساز متمرکز (تصمیم‌‌گیری سخت)، مطابق انتظار، شبیه‌‌سازی‌‌های انجام‌شده در این مقاله نشان می‌‌دهند که آشکارسازی هدف با سرعت کم در آشکارساز متمرکز در مقایسه با آشکارساز گسترده، عملکرد بهتری از خود نشان می‌‌دهد. مرجع [8] به مسأله آشکارسازی وفقی با استفاده از رادار MIMO در حضور کلاتر ناهمگن فضایی می‌‌پردازد. کوواریانس داده‌های اولیه و داده‌های ثانویه برای جفت‌های فرستنده و گیرنده یکسان و متفاوت به‌صورت ماتریس‌‌های تصادفی مختلف با دانش قبلی از محیط اطراف مدل می‌‌شود. در این مقاله، نویسندگان از استراتژی دومرحله‌ای برای طراحی آشکارساز وفقی استفاده می‌‌کنند. در واقع در این مقاله، ابتدا با فرض شناخته‌شده‌بودن ماتریس‌‌های کواریانس، آشکارساز حداکثر شباهت تعمیم‌یافته (GLRT) به‌دست آورده می‌‌شود. در گام بعدی با استفاده از اطلاعات پیشین ماتریس کوواریانس از تخمین­گر MAP، ماتریس کواریانس به‌دست آمده و سپس ماتریس کوواریانس تخمین‌‌زده‌شده توسط MAP در آشکارساز GLRT جایگزین می‌‌شود. مرجع [5] یکی از بهترین مقالات و از پیشگامان در زمینه رادارهای آرایه فازی چندورودی- چندخروجی است. این مقاله به‌صورت تحلیلی و با استفاده از شبیه‌سازی‌‌ها از طریق تحلیل الگوی پرتو‌‌ها و نسبت‌‌های سیگنال به نویز ورودی به خروجی به‌دست‌آمده، نشان می‌دهد در وضعیتی که زیرآرایه‌‌ها دارای هم‌‌پوشانی کامل نیستند و بازگشتی‌‌های هدف برای تمام زیرآرایه‌‌ها به‌صورت یک متغیر تصادفی یکسان می‌‌باشد، می‌‌توان به عملکرد بهتری در زمینه آشکارسازی اهداف نسبت به رادارهای آرایه فازی 2(PR) و MIMO دست یافت. در واقع در این مقاله به‌خوبی بحث شده که با طراحی یک بردار وزنی برای هر زیرآرایه می‌توان پرتو را به سمت یک جهت مشخص در فضا متمرکز کرد و به بهره پردازش همدوس مناسب دست یافت. مرجع [9] روش‌های جدیدی را برای پردازش وفقی فضا- زمان (STAP) در رادار چندورودی- چند‌‌خروجی (MIMO) هم‌‌مکان هواپایه در محیط با کلاتر غیرهمگن ارائه می‌دهد. در محیط با کلاتر غیرهمگن نمی‌‌توان از داده‌های آموزشی برای تخمین ماتریس کواریانس بهره برد؛ زیرا ویژگی‌های آماری تداخل برای تخمین ماتریس کوواریانس تداخل در دسترس نیست. بنابراین نویسندگان دو روش را برای پردازش وفقی فضا- زمان (STAP) ارائه می‌دهند. طرح اول بر پایه تصویر عمود بر زیرفضای کلاتر بنا نهاده شده که این برای سناریوهایی که امضای (الگوی) کلاتر شناخته‌شده است، قابل اجراست. برای این منظور در ابتدا ماتریسی که مشخصه کلاتر زمینی در رادارهای آرایه فازی چندورودی- چندخروجی هواپایه را نشان می‌‌دهد، استخراج می‌‌گردد. در طرح دوم که زیرفضای کلاتر ناشناخته است، نویسندگان طرحی را پیشنهاد می‌‌دهند که تداخل را بدون نیاز به ماتریس کوواریانس تداخل از بین می‌‌برند. در طرح اخیر، پارامترهای تعینی در پردازش رادار Phased MIMO STAP، با کمک به‌حداکثررساندن میزان آزادی تعیین می‌شود. در مرجع [10] به طراحی توأم کد انتقال فضا- زمان 3(STTC) چندورودی- چندخروجی و فیلتر گیرنده فضا- زمان 4(STRF) به‌منظور بهبود قابلیت تشخیص یک هدف در حال حرکت در محیط با کلاتر وابسته به سیگنال با عدم اطمینان در زاویه سمت هدف و فرکانس داپلر پرداخته می‌‌شود. نویسندگان در این مقاله از نسبت سیگنال به تداخل به علاوه نویز (SINR) به‌عنوان یک تابع هدف برای به‌حداکثررساندن آن استفاده می‌‌نمایند. محدودیت‌های چندگانه STTCها در مرحله طراحی (مثلاً محدودیت‌های شباهت و ماژول‌‌ها و همچنین نیاز به تأمین توان یکنواخت در بین آنتن‌های انتقال‌دهنده) باعث می‌‌شوند که برای مقابله با مشکل این طراحی، یک مسأله بهینه‌‌سازی غیرمحدب فرمول‌‌بندی گردد. برای حل مسأله فرمول‌‌بندی‌شده، یک روش تکراری مبتنی بر چارچوب بهینه‌سازی حریص متوالی (SGO) توسط نویسندگان پیشنهاد می‌‌گردد.

پس از مرور مقالات در زمینه پردازش سیگنال و آشکارسازی اهداف در رادارهای چندورودی- چندخروجی و رادارهای آرایه فازی در محیط با کلاتر، در ادامه می‌‌توان نوآوری‌‌های انجام‌شده در این مقاله را به‌صورت خلاصه به شرح زیر بیان نمود:

1)        بررسی و آنالیز رادارهای 5PMR (رادار آرایه فازی چندورودی- چندخروجی) با ویژگی تنوع فرکانسی که در مقالات در حوزه PMR تا کنون به آن پرداخته نشده است. در سال‌‌های اخیر، مقالاتی هرچند بسیار کم در حوزه رادارهای PMR ارائه شده؛ اما در این مقالات تحلیل ریاضی رادارهای PMR با تنوع فرکانسی مورد بحث قرار نگرفته است. سعی نویسندگان در این مقاله بر آن بوده که گام‌‌های نخست در زمینه معرفی و آنالیز ریاضی رادارهای PMR با تنوع فرکانسی برداشته شود.

2)        استخراج آشکارساز بهینه و محاسبه احتمال آشکارسازی و احتمال هشدار کاذب بر پایه PMR با تنوع فرکانسی. مهم‌ترین هدف در هر نوع سیستم راداری، بررسی عملکرد سیستم راداری به لحاظ آشکارسازی اهداف است. در این مقاله برای بررسی کارایی رادارهای PMR با تنوع فرکانسی و مقایسه آن با رادارهای آرایه فازی و رادارهای چندورودی- چندخروجی مرسوم، آشکارساز بهینه به شکل تحلیلی استخراج گردیده و سپس بر پایه آشکارساز بهینه استخراج‌شده، احتمال آشکارسازی و احتمال هشدار کاذب به‌صورت روابط بسته محاسبه می‌‌شود. تحلیل احتمال آشکارسازی و احتمال هشدار کاذب و بررسی پارامترهای مؤثر در آنها، از جمله کارهایی است که در این مقاله انجام خواهد شد.

3)        بررسی و آنالیز آشکارساز بهینه استخراج‌شده برای PMR در آشکارسازی اهداف در سرعت‌‌های کور و مقایسه آن با PRها. در این مقاله نشان داده می‌‌شود که یکی از مزایای رادارهای PMR 
با تنوع فرکانسی در مقایسه با رادارهای آرایه فازی، امکان آشکارسازی اهداف در سرعت‌‌های کور است.

4)        حل مسأله تخصیص توان در رادارهای PMR بر پایه بهینه‌‌سازی محدب و مقایسه آن با رادارهای PR. همان طور که پیشتر اشاره شد، موضوع رادارهای PMR یک موضوع بسیار نوپا و جدید می‌‌باشد. بحث تخصیص منابع در حوزه سیستم‌‌های راداری PMR تا کنون به‌صورت پژوهش‌‌های چاپ‌شده ارائه نگردیده است. در این مقاله، سعی شده بر پایه احتمال آشکارسازی و احتمال هشدار کاذب محاسبه‌شده، مسأله تخصیص توان در سیستم راداری PMR برای بیشینه‌کردن احتمال آشکارسازی و با قید بودجه توان فرستنده سیستم راداری فرمول‌‌بندی و سپس بر پایه بهینه‌‌سازی محدب حل گردد.

5)        تحلیل ریاضی تأثیر بهره چندگانگی فرکانسی بر میزان بهبود عملکرد آشکارسازی PMRها در مقایسه با PRها. موضوع پراهمیت دیگر در تحلیل رادارهای PMR، بررسی تأثیر چندگانگی فرکانسی بر عملکرد آشکارسازی اهداف می‌‌باشد. در این مقاله کرانی تحلیلی برای مقایسه تأثیر چندگانگی تنوع شکل موج در مقایسه با رادارهای PR ارائه شده است. اگرچه تحلیل چندگانگی در رادارهای چندورودی- چندخروجی در مقالات متعدد مطالعه شده، اما بررسی مقالات در حوزه PMR نشان می‌‌دهد که آنالیز چندگانگی تا کنون به‌صورت تحلیلی ارائه نشده است.

6)        شبیه‌‌سازی‌‌های عددی گسترده برای مشاهده تأثیر تنوع فرکانسی و همچنین میزان تأثیر محدودیت‌‌های عملی در عملکرد آشکارسازی اهداف در PMRها. در این مقاله اثبات می‌‌شود که در مدل سیستم در نظر گرفته شده، افزایش چندگانگی فرکانسی باعث بهبود عملکرد آشکارسازی رادار PMR می‌گردد؛ اما در ادامه محدودیت‌‌های عملی در افزایش تنوع فرکانسی مطرح خواهد شد. در بخش شبیه‌‌سازی نشان داده می‌‌شود افزایش تعداد شکل موج‌‌ها از یک حد معین باعث کاهش عملکرد سیستم‌‌های راداری PMR می‌‌گردد. بررسی این محدودیت عملی تا کنون در مقاله‌‌ای مورد بحث و بررسی قرار نگرفته است.

در این مقاله img0 و img0 به‌ترتیب معرف ضرب کرونکر و عملگری برای ساخت ماتریس قطری و همچنین img0 و img0 به‌ترتیب نشان‌‌دهنده دترمینان ماتریس و امید ریاضی (متوسط آماری) هستند.

2-       مدل سیستم

یک رادار چندورودی- چندخروجی آرایه فازی با img0 آنتن نزدیک به هم و با img0 زیرآرایه در فرستنده در نظر گرفته شده است. هر یک از زیرآرایه‌‌ها، سیگنال‌‌هایی با شکل موج img0 ارسال می‌‌کنند که دو‌‌به‌‌دو نسبت به هم دارای تعامد از نوع چندگانگی فرکانسی با فرکانس‌‌های img0 می‌‌باشند.  تخصیص  آرایه  به  زیرآرایه‌‌ها 

img0 

(الف)

img0 

(ب)

شکل 1:  (الف) بخش فرستنده و (ب) بخش گیرنده رادار Phased MIMO.

 

می‌‌تواند بر اساس محدودیت‌‌های مختلف با هم‌‌پوشانی و بدون هم‌‌پوشانی باشد. در این مقاله فرض می‌‌شود که تمام زیرآرایه‌‌ها بدون محدودیت دارای بهره همدوسی کامل می‌‌باشند. در واقع این بدین معنا خواهد بود که هر زیرآرایه از کل img0 آنتن بهره می‌‌برد. شکل 1 مدل سیستم شبکه را نشان می‌‌دهد. شکل 1- الف بخش فرستنده را نشان می‌‌دهد که از آرایه‌‌های خطی که با فاصله img0 از هم جدا شده‌‌اند، تشکیل شده‌‌اند. علاوه ‌بر این، img0 زاویه‌‌ای است که هدف با راستای آرایه‌‌ها می‌‌سازد. همچنین شکل 1- ب بخش گیرنده را نشان می‌‌دهد که در آن img0 و img0 به‌ترتیب فاصله آرایه‌‌ها از هم و زاویه تحت آزمایش می‌‌باشد.

با توجه به توضیحات داده‌شده، بردار سیگنال ارسالی آرایه img0 در باند پایه را می‌‌توان به‌صورت زیر نوشت

img0        (1)

که در رابطه‌ بالا، img0 بردار شکل‌‌دهی بیم برای زیرآرایه img0ام است که به‌صورت زیر تعریف می‌‌شود

img0        (2)

علاوه بر این دقت شود که در رابطه‌‌ بالا img0 به‌ترتیب نشان‌‌دهنده مدت زمان طول یک پالس ارسالی بوده و img0 معرف توان اختصاص‌یافته به شکل موج ارسالی برای زیرآرایه img0ام می‌‌باشد. در عمل در یک سیستم راداری، بیش از یک پالس برای آشکارسازی اهداف استفاده می‌‌شود. در اینجا فرض می‌‌گردد که در یک زمان دوئل6 (مدت زمان بیم بر روی هدف) تعداد img0 پالس برای آشکارسازی هدف مورد استفاده قرار می‌‌گیرد. بنابراین با توجه به img0 پالس دریافتی می‌‌توان بردار سیگنال دریافتی img0 در گیرنده‌ای با img0 آنتن را به‌صورت زیر نوشت

img0        (3)

که img0 بردار دامنه سیگنال کلاتر دریافتی با ابعاد img0، img0 بردار نویز، img0 مدت زمان تأخیر رسیدن سیگنال‌‌ها از فرستنده به گیرنده و img0 بردار هدایت زمانی در گیرنده است که به‌صورت رابطه زیر تعریف می‌‌شود

img0        (4)

در رابطه اخیر، img0 فرکانس داپلر هدف نسبت به زیرآرایه img0ام و img0 فاصله زمانی تکرار پالس (PRI) است. همچنین img0 به‌صورت زیر تعریف می‌‌شود

img0        (5)

که img0 بردار هدایت مکانی مربوط به هدف در فرستنده و img0 بردار هدایت مکانی در گیرنده است که به‌صورت زیر تعریف می‌‌شوند

img0        (6)

img0        (7)

همچنین img0 ضریب افت هدف مربوط به شکل موج زیرآرایه img0ام می‌‌باشد که به شماره سیگنال ارسالی وابسته است. باید یادآوری شود که img0 در واقع پارامتری است که هم به ضریب انعکاس هدف و هم اثر افت مسیر بستگی دارد. اگر بخش ضریب انعکاس را با img0 و اثر افت مسیر را با img0 نمایش دهند، img0 می‌‌تواند به‌صورت زیر مدل گردد

img0        (8)

که در رابطه بالا img0 به‌صورت زیر نوشته می‌‌شود

img0        (9)

که img0 و img0 به‌ترتیب فاصله هدف تا فرستنده و فاصله هدف تا گیرنده، img0 طول موج سیگنال ارسالی زیرآرایه img0ام و img0 تلفات آنتن گیرنده است. در این مقاله فرض شده که در گیرنده طبق شکل 1- ب، پشت هر آرایه، یک بانک فیلتریِ منطبق با شکل موج‌‌های ارسالی img0 وجود دارد که سیگنال دریافتی در هر آرایه از این بانک فیلتری عبور داده می‌‌شود. علاوه بر این در گیرنده سیستم‌‌های راداری، هر قطاع زاویه‌ای از فضا به سلول بردهای مختلف، تقسیم و در هر سلول برد، نمونه‌برداری انجام می‌‌شود. بنابراین اگر سیگنال‌‌های دریافتی عبوری از فیلتر منطبق با شکل موج img0ام در طول زمان دوئل و برای هر زیرآرایه برای سلول برد تحت آزمایش، نمونه‌‌برداری و جبران فاز صورت گیرد، بردار نمونه‌‌های سیگنال در هر رنج گیت از زیرآرایه img0ام img0 به شکل زیر به‌دست می‌‌آید

img0        (10)

که در آن img0 است. همچنین img0 بردار نویز خارج‌شده از فیلتر منطبق با شکل موج img0ام می‌‌باشد که یک بردار تصادفی با توزیع گوسی دایروی مختلط img0 است. به طور کلی، کلاترها می‌‌توانند به‌عنوان هدف‌‌های نخواسته در محیط به صورت‌‌های مختلف مدل گردند. یکی از ویژگی‌‌های مهم سیگنال کلاتر، همبستگی زمانی بین آنهاست. در این مقاله، علاوه بر همبستگی زمانی بین کلاترها، همبستگی مکانی بین کلاترها نیز در نظر گرفته خواهد شد. منظور از همبستگی مکانی، همبستگی بین سیگنال‌‌های دریافتی در شماره آنتن‌‌های مختلف گیرنده است. کلاتر در این مقاله، ناهمگن و به‌صورت نقطه در زاویه img0 نسبت به آرایه‌‌های گیرنده در نظر گرفته می‌‌شود. در این وضعیت، img0 که بردار هادی فضایی مربوط به کلاتر در گیرنده راداری است به‌صورت زیر تعریف می‌‌شود

img0        (11)

علاوه ‌بر این، img0 به‌عنوان بردار هادی زمانی مربوط به کلاتر معرفی می‌‌شود که در واقع، همبستگی زمانی بین سیگنال‌‌های دریافتی کلاتر را نشان می‌‌دهد. پرواضح است که با توجه به نحوه بیان نمونه‌‌های بردار سیگنال هدف در (10)، بردار نمونه‌‌های سیگنال کلاتر img0 را می‌‌توان به‌صورت زیر بیان نمود

img0        (12)

همان طور که قبلاً به آن اشاره شد، یکی از ویژگی‌‌های مهم کلاترها همبستگی زمانی بین نمونه‌‌های کلاترهای یک شکل موج خاص است. منظور از همبستگی زمانی نمونه‌های کلاتر، وابستگی نمونه‌های یک سیگنال در خروجی یک فیلتر منطبق مشخص (مربوط به یک سیگنال متعامد در یک گیرنده مشخص) می‌‌باشد. در این مقاله، همبستگی زمانی کلاتر وابسته به زیرآرایه img0ام دریافتی به فرم نمایی مدل می‌‌گردد. اگر img0 تابع خودهمبستگی زیرآرایه img0ام باشد، بنابراین [11]

img0        (13)

دقت شود که در این نمایش، img0 میزان وابستگی زمانی بین سیگنال‌‌های کلاتر با اختلاف زمانی img0 را در شکل موج وابسته به زیرآرایه img0ام نشان می‌‌دهد. در (13)، img0 ضریب تناسب همبستگی و ضریب img0، یک ضریب نرمال‌کننده برای توان دریافتی از سیگنال کلاتر می‌‌باشد. دقت شود که با توجه به توضیحات داده‌شده، در یک رادار عملیاتی، مقدار img0 بین 0 و img0 قرار دارد. پرواضح است که رابطه‌ img0 بین مدت زمان دوئل با PRI و تعداد پالس‌‌های پردازش همدوس برقرار است. همچنین از (13) می‌‌توان چگالی طیف توان کلاتر را 

به‌صورت img0 حساب کرد که img0 

و img0 هستند. از طرفی عملاً کلاترها به‌عنوان بازگشتی‌‌های ناخواسته دارای ماهیت تصادفی هستند. اگر عنصر img0 بردار هدایت زمانی کلاتر img0 با img0 نمایش داده شود، با توجه به رابطه چگالی طیف توان می‌‌توان سیگنال کلاتر دریافتی را به‌صورت زیر مدل نمود

img0        (14)

که در رابطه بالا img0 ضریب نرمالایزکننده، img0 پهنای باند مؤثر کلاتر و img0 ضریب بازگشتی کلاترها برای هر مؤلفه فرکانسی است که به‌صورت متغیرهای تصادفی iid گوسی مختلط با توزیع img0 در نظر گرفته می‌‌شوند که در آن img0 واریانس ضرایب بازگشتی‌‌های کلاتر است که به شماره هر زیرآرایه وابسته می‌‌باشد. علاوه بر این img0 تعداد مؤثر مؤلفه‌‌های فرکانسی سازنده سیگنال کلاتر است. با توجه به توضیحات داده‌شده، ماتریس خودهمبستگی بردار سیگنال کلاتر img0 را می‌‌توان به‌صورت زیر محاسبه کرد

img0        (15)

با توجه به خاصیت ضرب‌‌های کرونکر آورده‌شده در [12]، (15) را می‌‌توان به‌صورت زیر نوشت

img0        (16)

با توجه به خطی‌بودن عملگر img0، رابطه اخیر می‌‌تواند به‌صورت زیر خلاصه شود

img0        (17)

که در رابطه  بالا، img0 ماتریس  همبستگی فضایی کلاتر 

و  img0  ماتریس   همبستگی   زمانی   کلاتر   تعریف 

می‌‌شود.   در   (17)،  img0  ماتریس   همبستگی   مکانی   بین   پالس‌‌های 

وابسته  به  سیگنال  زیرآرایه img0ام دریافتی  برای  یک  لحظه  خاص و img0 

معرف همبستگی زمانی پالس‌‌های ورودی سیگنال زیرآرایه img0ام در یک آرایه معین گیرنده است. برای راحتی پردازش، بردارهای img0، img0، img0 و img0 به‌صورت زیر تعریف می‌‌شوند

img0        (18)

img0        (19)

img0        (20)

img0        (21)

به طور کلی می‌‌توان (10) را به‌صورت زیر بازنویسی کرد

img0        (22)

انتهای این بخش به معرفی ماتریس همبستگی بردار مجموع سیگنال کلاتر و نویز img0 با سمبل img0 اختصاص دارد؛ یعنی

img0        (23)

با توجه به استقلال بردار‌‌های نویز و کلاتر و میانگین صفربودن آنها می‌‌توان img0 را  به‌صورت img0  نوشت.  از  طرفی  با 

توجه  به  ویژگی‌‌های  تعامد  سیگنال‌‌های  زیرآرایه‌‌های  مختلف، img0 یک 

ماتریس قطری بلوکی خواهد بود. بنابراین با توجه به قطری‌بودن ماتریس هم‌‌بستگی  نویز،  img0  را  نیز  می‌‌توان  به‌صورت  یک  ماتریس  قطری 

بلوکی به‌صورت زیر نمایش داد

img0        (24)

که img0 است.

3-       طراحی آشکارساز بهینه

در بخش قبل به تشریح مدل سیستم و سیگنال دریافتی در گیرنده پرداخته شد. به‌طور کلی برای آشکارسازی سیگنال‌‌های بازگشتی در محیط با کلاتر در رادارهای مرسوم آرایه فازی از سه فیلتر شکل موج، فیلتر مکانی و فیلتر زمانی (کنسل‌‌کننده) استفاده می‌‌شود. به‌طور مشابه در رادارهای چندورودی- چندخروجی آرایه فازی از یک بانک فیلتری شکل موج برای جداکردن شکل موج‌‌های مختلف ارسالی بهره می‌‌گیرند. با توجه به تعامد چندگانگی فرکانسی می‌‌توان سیگنال‌‌های بازگشتی با شکل موج‌‌های متفاوت را با یک بانک از فیلترهای منطبق از همدیگر جدا کرد. حال در ادامه سعی می‌شود آشکارساز بهینه‌‌ بر پایه فرض شناخته‌بودن ضریب انعکاس هدف به ازای سیگنال‌های مختلف استخراج شود. هنگامی که ضرایب بازگشتی هدف شناخته‌شده است، img0 یک عدد مختلط تعینی خواهد بود. در این وضعیت، آزمون فرضیه با توجه به (22) به‌صورت زیر نوشته می‌‌شود

img0        (25)

در رابطه بالا، img0 فرضیه عدم حضور هدف و img0 فرضیه حضور هدف است. طبق [13] و [14] از آزمون نیمن- پیرسون جهت استخراج آشکارساز بهینه استفاده می‌‌شود و برای این منظور، نسبت درست‌‌نمایی (LRT) یا img0 را می‌توان به‌صورت زیر تعریف نمود

img0        (26)

باید توجه کرد که بردار دریافتی img0، یک بردار از متغیرهای تصادفی گوسی مختلط است که برای فرضیه img0 تابع چگالی احتمال آن به‌صورت زیر به‌دست می‬آید

img0        (27)

با  توجه  به  اینکه img0 یک  ماتریس  قطری  بلوکی  است،  (27)  می‌‌تواند 

به‌صورت زیر نمایش داده شود

img0        (28)

به‌طور مشابه برای فرضیه img0، تابع چگالی احتمال به‌صورت زیر به‌دست آورده می‌شود

img0        (29)

از (26) و تابع چگالی احتمال‬های به‌دست‌آمده، آزمون نسبت درست‬نمایی می‌‌تواند به‌صورت زیر نوشته شود

img0        (30)

از طرفی، معمولاً برای سادگی محاسبات از img0 یا همان آزمون لگاریتم نسبت درست‬نمایی استفاده می‌‌شود که در این صورت با کمی محاسبات ریاضی به‌دست خواهد آمد

img0        (31)

با توجه به اینکه جمله دوم در سمت چپ نامساوی (31) فاقد هر گونه نمونه سیگنال دریافتی img0 است، برای به‌دست‌آوردن معیار آشکارسازی می‌‌تواند به سمت راست نامساوی، منتقل و با img0 ترکیب گردد؛ بنابراین

img0        (32)

که img0 آمارگان کافی می‌‌باشد. از (32) پر‌‌واضح است که آشکارساز بهینه سعی می‌‌کند با توجه به ماتریس img0 که در بردار سیگنال‌های دریافتی 

ضرب شده است، در راستای کلاتر نال بیندازد و با توجه به بردار هادی سلول تحت تست img0، پیک فیلتر پردازش را در راستای سلول تحت تست قرار دهد. احتمال هشدار کاذب در این وضعیت می‌‌تواند به‌صورت زیر به‌راحتی محاسبه شود

img0        (33)

که در رابطه بالا img0 انحراف معیار توأم کلاتر و نویز فیلترشده نامیده می‌‌شود که مطابق با پیوست الف محاسبه گردیده است. در مورد آشکارساز نیمن- پیرسون به‌طور خلاصه می‌‌توان گفت که در این آشکارساز به ازای یک نرخِ هشدارِ غلط معیّن، مقدار آستانه به‌‌دست آورده‌ می‌‌شود. برای این منظور به ازای نرخ هشدار غلط مطلوب img0، با استفاده از (33) به‌دست می‌آید

img0        (34)

به طور مشابه، احتمالِ آشکارسازیِ اهداف را هم می‌‌توان به‌صورت زیر محاسبه نمود

img0        (35)

که  در  بالا، img0 تعریف  می‌شود  که  در  پیوست  الف 

نحوه محاسبه آن ارائه شده است.

4-       تخصیص توان در رادارهای 
چندورودی- چندخروجی آرایه فازی

این بخش به موضوع تخصیص توان در رادارهای MIMO آرایه فازی با تنوع فرکانسی تعلق دارد. همان طور که مشاهده شد، آشکارساز بهینه با فرض شناخت کامل از ضریب انعکاسی هدف به ازای هر سیگنال متعامد فرکانسی استخراج گردید. در ادامه برای بیشینه‌کردن احتمال آشکارسازی هدف، تخصیص بهینه توان به سیگنال‌های متعامد فرکانسی بر اساس اطلاعات موجود از ضریب بازگشتی هدف و با درنظرگرفتن محدودیت در توان بیشینه رادار پیشنهاد می‌گردد. برای این منظور، مسئله بهینه‌سازی تخصیص توان به سیگنال‌های متعامد به‌صورت زیر فرمول‌‌بندی می‌شود

img0        (36)

با  توجه  به  آنکه img0 تابعی  اکیداً  نزولی  نسبت  به  مقدار img0 است  [15]، 

img0 به شکل معادل می‌‌تواند به فرم زیر در نظر گرفته شود

img0        (37)

حال اگر بردار نرمالیزه img0 به‌صورتی تعریف گردد که img0 شود، تابع  هدف  حاصل  در  (37)  را  به‌صورت img0 

می‌توان  نمایش  داد  که  در  آن به ازای هر img0، img0، یک اسکالر 

همواره  مثبت  خواهد  بود.  با  تعریف  img0  مسأله  img0  را 

می‌‌توان به‌صورت زیر بازنویسی کرد

img0        (38)

لم 1: جواب بهینه مسأله img0 منجر به تخصیص کل توان تنها به یک زیرآرایه می‌‌گردد. اگر img0 جواب بهینه توان تخصیصی به زیرآرایه img0ام باشد، به‌دست می‌آید

img0        (39)

اثبات: به پیوست ب مراجعه شود.

با توجه به فرم جواب حاصل در لم 1 می‌‌توان دریافت برای وقتی که ضریب بازگشتی هدف به‌ازای تک‌تک سیگنال‌های متعامد فرکانسی در دسترس است، حل مسأله تخصیص توان منجر به طرح انتخاب زیرآرایه بهینه7 می‌‌شود. همان طور که در (39) مشاهده می‌‌شود، پارامتر اصلی در انتخاب یکی از زیرآرایه‌ها به‌عنوان زیرآرایه بهینه، img0 است. از وابستگی img0 به img0 و img0 می‌‌توان  نتیجه  گرفت  که img0 با  توجه  به  (14)،  با 

واریانس بازگشتی‌‌های کلاتر img0 رابطه معکوس و با توجه به تعریف img0 با img0 که معرف بازگشتی هدف می‌باشد، رابطه مستقیم دارد. در واقع زیرآرایه‌ای که به ازای آن نسبت توان بازگشتی هدف به توان دریافتی کلاتر به اضافه نویز بعد از فیلترینگ فضا- زمان بیشترین مقدار را دارد به‌عنوان زیرآرایه بهینه انتخاب خواهد شد. نکته بسیار مهم دیگر این است که اگرچه در وضعیت تخصیص توان بهینه، رادار PMR تبدیل به یک رادار PR می‌‌گردد، ولی عملکرد رادار چندورودی- چندخروجی آرایه فازی از رادار صرفاً آرایه فازی بهتر خواهد بود که این بهتربودن به انتخاب زیرآرایه بهینه و یا به عبارتی دیگر بهره‌برداری از چندگانگی شکل موج در انتخاب فرکانس بهینه باز می‌‌گردد. از طرفی در واقعیت، ضریب انعکاسی هدف به ازای هر سیگنال متعامد، یک متغیر تصادفی است که هر چند مدت به‌طور تصادفی تغییر خواهد کرد و تنها با مشاهده نمونه‌های دریافتی، تخمین زده می‌شود. ضرایب بازگشتی هدف یا همان img0ها در [3] به‌صورت یک متغیر تصادفی گوسی مختلط دایروی متقارن با توزیع img0 در نظر گرفته شده‌‌اند. انتخاب زیرآرایه بهینه و تخصیص توان رادار به آن با فرض اینکه تخمین نسبتاً دقیقی از ضرایب بازگشتی هدف دارد صورت می‌گیرد و بعد از تغییر تصادفی ضرایب بازگشتی، مجدداً مقادیر آنها تخمین زده شده و انتخاب زیرآرایه بهینه به‌روز می‌گردد. نکته بسیار مهم دیگر در مورد بازگشتی‌‌های هدف این است که با توجه به چندگانگی فرکانسی، بازگشتی‌‌های هر زیرآرایه با زیرآرایه دیگر مستقل می‌‌باشد. در واقعیت اگر فرکانس‌‌های حامل در نظر گرفته شده برای زیرآرایه‌ها به اندازه کافی از هم فاصله داشته باشند، بازگشتی‌‌های هر زیرآرایه نسبت به زیرآرایه دیگر ناهمبسته خواهد بود. در این وضعیت گفته می‌‌شود که ضرایب بازگشتی هدف ناهمبسته فرکانسی هستند [16]. شرط این ناهمبستگی وجود حداقل اختلاف فرکانسی بین حامل‌‌ها به اندازه img0 است که در رابطه اخیر، img0 طول هدف و img0 تصویر طول هدف بر روی خط دید رادار می‌‌باشد. بنابراین فرض شده که فرکانس‌های حامل طراحی‌شده این شرط را ارضا می‌کنند و ضرایب بازگشتی هدف به‌ازای زیرآرایه‌های مختلف ناهمبسته‌اند.

برای بررسی دقیق‌‌تر میزان بهبود عملکرد آشکارسازی در رادارهای چندورودی- چندخروجی آرایه فازی در مقایسه با رادارهای مرسوم آرایه فازی می‌‌توان متوسط احتمال آشکارسازی آنها را با هم مقایسه کرد. با توجه به ماهیت تابع img0 در (35)، محاسبه متوسط احتمال آشکارسازی بهینه یعنی img0 در رادار PMR دشوار است. لذا برای ارزیابی عملکرد از تابع هدف معادل با بیشینه‌کردن احتمال آشکارسازی یعنی تابع هدف مطرح  در  (37)  استفاده  می‌‌شود  که img0 در  واقع  معرف  سیگنال 

به کلاتر به‌‌اضافه نویز 8(SCNR) بعد از فیلترینگ فضا- زمان می‌‌باشد. بنابراین متوسط img0 در رادارهای PMR برابر خواهد بود با

img0        (40)

که img0 و با توجه به توزیع متغیر تصادفی img0، img0 متغیر تصادفی با توزیع نمایی با پارامتر img0 است. حال  اگر  متغیر  تصادفی img0 تعریف  شود، 

تابع چگالی احتمال آن برابر خواهد بود با (به پیوست ج مراجعه شود)

img0        (41)

که در آن img0 مطابق با پیوست ج محاسبه می‌‌شود. بنابراین برای محاسبه img0 به‌دست خواهد آمد

img0        (42)

این در حالی است که برای رادار PR، متوسط SCNR با فرض آنکه سیگنال یکی از زیرآرایه‌ها مثل زیرآرایه دلخواه img0 را استفاده می‌کند برابر خواهد بود با

img0        (43)

img0 

شکل 2:  مقایسه احتمال آشکارسازی تئوری با شبیه‌‌سازی با فرض img0 و img0.

 

جدول 1: مشخصات راداری PMR.

 

تعداد زیرآرایه‌ها

img0 

تعداد آنتن آرایه فرستنده

img0 

تعداد آنتن آرایه گیرنده

img0 

حداکثر توان ارسالی فرستنده

img0 

فرکانس تکرار پالس

img0 

فرکانس مرکزی حامل

img0 

زاویه کلاتر

img0 

پهنای باند کلاتر

img0 

پهنای باند در دسترس رادار

img0 

فاصله هدف تا فرستنده (گیرنده)

img0 

تلفات رادار

img0 

واریانس بازگشتی‌‌های هدف

1، 8/0، 4/0، 2/0

واریانس بازگشتی‌‌های کلاتر

2، 5/1، 1، 5/0

نسبت کلاتر به نویز

img0 

 

متأسفانه مشابه img0 نمی‌‌توان با کمک (43) یک فرم بسته برای img0 استخراج کرد؛ بلکه باید به‌صورت عددی مورد محاسبه قرار گیرد. با وجود این در پیوست ج اثبات می‌‌شود img0 همواره برقرار است. همچنین در پیوست ج نشان داده شده که در این وضعیت با افزایش تعداد زیرآرایه‌های img0 می‌‌توان به img0 بزرگ‌تری دست یافت. به عبارتی دیگر، این بدان معنا خواهد بود که با افزایش چندگانگی شکل موج می‌‌توان به بهره عملکرد آشکارسازی بهتری در رادار PMR دست یافت. البته با توجه به پهنای باند رادار و لزوم حداقل فاصله فرکانسی بین حامل‌ها برای مستقل‌شدن ضرایب انعکاسی هدف، تعداد زیرآرایه‌ها به img0 محدود خواهد شد. علاوه بر این در لم 2 نشان داده می‌‌شود که در یک وضعیت خاص که در آن در ضعیف‌‌ترین وضعیت چندگانگی (بازگشتی‌‌ها با واریانس‌‌های تقریباً یکسان برای هر زیرآرایه وجود دارد، بهبود img0 در مقایسه با img0 برابر با img0 می‌‌باشد.

لم 2: در ضعیف‌‌ترین وضعیت چندگانگی، میزان بهبود img0 در مقایسه با img0 برابر با img0 است.

اثبات: به پیوست ج مراجعه شود.

قبل از اتمام این بحث، لازم است دو ملاحظه عملی در این بخش مطرح  گردد.  ملاحظه  اول  از  لم  1  به‌دست  می‌‌آید.  از  لم 1 می‌‌توان دریافت 

img0 

شکل 3:  مقایسه احتمال آشکارسازی در رادارهای PMR و PR با احتمال هشدار کاذب متفاوت.

 

از  آنجا  که img0 اساساً  یک  سری  ناهمگرا  است،  با  افزایش  تعداد 

زیرآرایه‌‌ها می‌‌توان به بهبود در عملکرد آشکارسازی قابل توجهی دست یافت. ولی با افزایش خیلی زیاد img0، عملاً بهبود آشکارسازی بسیار کاهش می‌‌یابد. یعنی از img0 معینی، احتمال آشکارسازی عملاً تغییر چندانی نمی‌‌کند. ملاحظه عملی دوم، این است که رادارها معمولاً دارای پهنای باند اختصاصی معین img0 هستند. بنابراین مقدار img0 را می‌‌توان تا جایی افزایش داد که شرط img0 همچنان برقرار باشد؛ چرا که در این صورت بازگشتی‌‌های زیرآرایه‌‌های مختلف نسبت به هم وابسته خواهند شد. در ادامه و در بخش شبیه‌‌سازی نشان داده می‌‌شود که چگونه میزان همبستگی بازگشتی‌‌های زیرآرایه‌‌های مختلف نسبت به هم باعث کاهش احتمال آشکارسازی هدف می‌‌گردد.

5-       نتایج شبیه‌‌سازی عددی

در اين بخش سعی می‌‌شود با شبیه‌‌سازی به بررسی آشکارسازهای استخراج‌شده و ارزیابی الگوریتم‌‌های پیشنهادی پرداخته شود. برای این منظور، يک رادار آرایه فازی چندورودی- چندخروجی با مشخصات راداری که در جدول 1 آمده است، در نظر گرفته می‌‌شود.

شکل 2 احتمال آشکارسازی هدف را با فرض img0 و زاویه هدف img0 نمایش می‌دهد (در عمل img0 کوچک‌تر از img0 می‌‌باشد؛ ولی به‌خاطر کاهش بار محاسباتی، مقادیر بزرگ‌تر در نظر گرفته شده است). در این شکل نتایج فرمول بسته ارائه‌شده (35) با نتایج شبیه‌سازی فرایند آشکارسازی که به روش مونت‌کارلو با تعداد 1000 نمونه تصادفی به‌دست آمده است، برحسب نسبت SCNR ورودی در گیرنده مقایسه می‌‌شود. همان طور که مشاهده می‌گردد، نتایج شبیه‌‌سازی با توجه به تعداد نمونه‌‌های درنظرگرفته‌شده در تحقق متغیرهای تصادفی با دقت بسیار خوبی با روابط تئوری مطابقت دارند. برای درک بهتر، جهت مقایسه عملکرد رادارهای PMR و PR، شکل 3 را در نظر بگیرید. همان طور که مشاهده می‌‌شود، احتمال آشکارسازی PMR (نمودار آبی) در مقایسه با احتمال آشکارسازی PR (نمودار قرمز) برای احتمال هشدارهای کاذب مختلف، عملکرد بهتری را از خود نشان می‌‌دهد. این عملکرد بهتر در آشکارسازی همان طور که قبلاً بحث شده است، به‌خاطر بهره چندگانگی به‌کارگرفته‌شده در PMR است. شکل 4 احتمال آشکارسازی بر پایه تغییرات زاویه هدف را در img0 و img0 نشان  می‌‌دهد.  در  شکل  مشاهده  می‌‌شود  با  توجه  به  اینکه  کلاتر  در  زاویه 

img0 

شکل 4:  تغییرات احتمال آشکارسازی بر اساس تغییرات زاویه هدف.

 

img0 

شکل 5:  تغییرات احتمال آشکارسازی بر اساس تغییرات سرعت هدف در زوایای مختلف هدف.

 

img0 قرار دارد، در زاویه img0 نال بسیار ضعیفی مشاهده می‌‌شود. آشکارساز بهینه در وضعیت شناخته‌بودن ضریب انعکاس هدف به فرم  img0  به‌دست  آمده  که  در  آن  عبارت  img0 

نشان‌‌دهنده ضرایب فیلتر خطی است که بر روی سیگنال دریافتی خروجی از بانک فیلتری img0 اعمال می‌‌شود. این فیلتر، یک فیلتر فضا- زمان توأم است و بنابراین در آن با وجود نال‌انداختن در بعد فضایی، به‌دلیل اینکه نال در بعد زمان صورت نگرفته است (همان طور که در شکل 4 مشاهده می‌‌گردد) عمق نال، بسیار کم است و احتمال آشکارسازی به شکلی ناچیز کم می‌شود.

مشابه شکل 4، در شکل 5 نیز می‌‌توان تغییرات احتمال آشکارسازی را برحسب تغییرات سرعت داپلر هدف مورد بررسی قرار داد. همان طور که در شکل 5 مشاهده می‌‌شود، در سرعت‌‌های نزدیک به صفر که معادل با فرکانس‌‌های داپلر نزدیک به صفر است و از آنجا که کلاتر در نزدیکی فرکانس صفر دارای چگالی توان بسیار بالایی می‌‌باشد، هر قدر زاویه هدف img0 به زاویه کلاتر img0 نزدیک‌تر شود، در دو بعد فضا و زمان به‌صورت توأم نال ایجاد می‌‌گردد. همان طور که در شکل 5 مشاهده می‌‌شود در زاویه img0، عمق نال در حوالی فرکانس صفر نسبت به زوایای دیگر بسیار بیشتر بوده و حدود img0 می‌‌باشد. این در حالی است که احتمال آشکارسازی با 2 درجه کمتر یعنی در زاویه img0 در حدود 8/0 می‌‌باشد. شکل 6 تصویر دوبعدی اثر فیلتر فضا- زمان توأم را بهتر نشان می‌‌دهد.

img0 

شکل 6:  تغییرات احتمال آشکارسازی بر حسب تغییرات سرعت هدف و زاویه هدف.

 

همان طور که مشاهده می‌‌شود، در زاویه img0 و فرکانس داپلر img0 نال بسیار قوی وجود دارد که احتمال آشکارسازی را شدیداً کاهش داده است. نکته بااهمیت دیگر که در شکل مشاهده می‌‌شود، آن است که در سرعت img0 نیز نال قوی مشابه با سرعت img0 وجود دارد. علت این موضوع آن است که فیلتر فضا- زمان در واقع یک فیلتر DLC فضایی- زمانی می‌‌باشد که علاوه بر نال‌انداختن در فرکانس صفر، در مضارب صحیح PRF نیز نال می‌‌اندازد. در ادبیات راداری، سرعت‌‌های وابسته به این فرکانس‌‌ها سرعت کور نامیده می‌‌شود. در اینجا با توجه به آنکه img0 است، سرعت‌‌های‌‌‌‌ کور مضربی از img0 هستند. از طرفی، همان طور که در شکل 6 مشاهده می‌‌شود، عمق نال در سرعت کور img0 در مقایسه با سرعت صفر، کمتر است که علت آن را می‌‌توان در چندگانگی فرکانسی زیرآرایه‌ها جستجو کرد. در واقع وقتی زیرآرایه‌ها چندگانگی فرکانسی داشته باشند، سرعت کور برای تمام زیرآرایه‌‌ها دقیقاً m/s 200 نخواهد بود؛ بلکه در این وضعیت، اگرچه سرعت کور هر زیرآرایه به سرعت m/s 200 نزدیک است، ولی قطعاً این وضعیت، مشابه با سرعت صفر نخواهد بود که فرکانس داپلر تمام زیرآرایه‌‌ها برابر با صفر است. برای درک بهتر موضوع اثر چندگانگی فرکانسی روی آشکارسازی سرعت‌های کور، احتمال آشکارسازی در زاویه img0 برای رادارهای PR و PMR با هم مقایسه می‌‌گردد. همان طور که در شکل 7 و 8 مشاهده می‌‌شود در PMR در مضارب بالاتر سرعت کور، عمق نال شروع به کاهش می‌‌یابد که علت، آن است که در سرعت‌‌های کور بالاتر، اختلاف فرکانس داپلر در زیرآرایه‌‌های مختلف نسبت به هم زیاد می‌‌شوند. در نتیجه، این چندگانگی باعث می‌گردد که در PMR برخلاف PR که تنها یک فرکانس داپلر را از هدف دریافت می‌کند، در اینجا هر زیرآرایه دارای فرکانس داپلر مختص به خود باشد که این فرکانس‌‌های داپلر در سرعت‌‌های کور بالاتر، بیشتر از هم فاصله گرفته و در نتیجه برخلاف شکل 7 که در تمام سرعت‌های کور، عمق نال‌‌ها یکسان هستند، در PMRها در سرعت کورهای مختلف، عمق نال‌‌های متفاوت وجود دارد که باعث کاهش عمق نال در سرعت‌‌های بالا و بهبود احتمال آشکارسازی می‌‌گردد.

شکل 9، متوسط احتمال آشکارسازی را بر حسب تعداد زیرآرایه‌‌های مختلف نشان می‌‌دهد. در این طرح فرض شده که توان تخصیص داده شده به هر یک از زیرآرایه‌‌ها با هم یکسان و برابر با img0 است. همان طور که در شکل مشاهده می‌‌شود با افزایش چندگانگی (افزایش تعداد زیرآرایه‌‌ها)، متوسط احتمال آشکارسازی افزایش می‌‌یابد. اگرچه میزان  افزایش  در  تعداد  زیرآرایه‌‌های  بیشتر،  کوچک‌تر  از  تعداد  زیرآرایه‌‌های 

img0 

شکل 7:  احتمال آشکارسازی در PR بر حسب تغییرات سرعت هدف.

 

img0 

شکل 8:  تغییرات احتمال آشکارسازی در PMR بر حسب تغییرات سرعت هدف.

 

کمتر است ولی این افزایش را تا img0 مشاهده می‌‌کنیم. این در حالی است که در img0 که با نمودار صورتی‌رنگ در شکل 9 مشخص شده، متوسط احتمال آشکارسازی در مقایسه با img0 افت پیدا می‌‌کند. علت این کاهش به‌خاطر محدودیت در داشتن زیرآرایه‌‌هایی با چندگانگی مستقل می‌‌باشد. در واقع در اینجا فرض شده که طول هدف img0 و زاویه‌‌ای که با رادار می‌‌سازد، تقریباً برابر با img0 است؛ بنابراین img0 خواهد بود. لذا حداکثر تعداد زیرآرایه‌‌ها با استقلال در ضرایب بازگشتی دریافتی از هدف برابر خواهد بود با img0. بنابراین در شبیه‌‌سازی انجام‌شده در شکل 9 برای img0، بین ضرایب بازگشتی img0ها با توجه به اینکه به‌صورت یک متغیر تصادفی گوسی مختلط مدل شده‌‌اند، ضریب هبستگی img0 بین آنها در نظر گرفته شده است. همان طور که مشاهده می‌‌گردد، نتایج شبیه‌‌سازی نشان می‌‌دهند که برای img0، متوسط احتمال آشکارسازی کاهش می‌‌یابد. شکل 10، احتمال متوسط آشکارسازی را بر پایه دو طرح تخصیص توان بر حسب تعداد زیرآرایه‌‌ها نشان می‌‌دهد. طرح اول، تخصیص بهینه توان (OPA) است و همان طور که پیشتر گفته شد، این طرح معادل با طرح انتخاب زیرآرایه بهینه (OSS) است. همچنین طرح دوم تخصیص یکسان توان (SPA) به تمام زیرآرایه‌‌ها می‌‌باشد. همان طور که در شکل 10 مشاهده می‌‌شود، طرح OSS به‌طور قابل ملاحظه‌‌ای از طرح SPA عملکرد بهتری دارد. نکته بسیار مهم دیگر که در شکل مشاهده می‌‌شود آن است که همان طور که پیشتر گفته شد، سرعت افزایش متوسط احتمال آشکارسازی با افزایش تعداد زیرآرایه‌‌ها شروع به کاهش می‌‌کند؛ ولی  همان  طور که گفته شد بدین معنا نخواهد بود که احتمال آشکارسازی 

img0 

شکل 9:  بررسی اثر بهره چندگانگی بر روی متوسط احتمال آشکارسازی در img0 و img0.

 

img0 

شکل 10:  مقایسه متوسط احتمال آشکارسازی بر پایه طرح‌‌های تخصیص توان OSS با SPA در رادار PMR با img0.

 

به ازای یک SCNR با افزایش تعداد زیرآرایه‌‌ها به یک مقدار مشخص همگرا می‌‌شود. بلکه همان طور که در شکل 9 نشان داده شده است، تنها محدودیت عملی باعث توقف در افزایش متوسط احتمال آشکارسازی بر حسب افزایش تعداد زیرآرایه‌‌ها خواهد شد.

6-       نتیجه‌گیری

در این مقاله، ابتدا به موضوع طراحی آشکارساز بهینه برای رادارهای PMR در حضور کلاتر با فرض شناخت ضریب انعکاس هدف پرداخته شد و سپس بر پایه آشکارساز‌‌های استخراج‌شده، فرمول احتمال آشکارسازی 
و احتمال هشدار کاذب محاسبه گردید. نتایج شبیه‌سازی نشان می‌دهند که فرمول بسته ارائه‌شده برای احتمال آشکارسازی با نتایج شبیه‌سازی مونت‌کارلوی آشکارساز مطابقت دارد. نتایج شبیه‌سازی نشان می‌دهند که چندگانگی فرکانسی باعث بهبود عملکرد رادار مخصوصاً در سرعت‌های کور می‌شود. همچنین این مقاله نشان داده که مسأله تخصیص بهینه توان به مسأله انتخاب زیرآرایه بهینه منجر می‌‌شود. علاوه بر این، آنالیز ریاضی بهره چندگانگی انجام‌شده نشان می‌‌دهد به لحاظ پیاده‌‌سازی عملیاتی دارای محدودیت‌‌هایی هست، به طوری که نتایج شبیه‌‌سازی عددی، کاهش عملکرد آشکارسازی سیستم PMR را در وضعیت محدودیت‌‌های عملی به هنگام افزایش چندگانگی نشان می‌دهند.

پیوست

پیوست الف

در (32) پرواضح است که img0 یک بردار متغیر تصادفی گوسی مختلط می‌‌باشد که عناصر این بردار به هم وابسته هستند. از طرفی تحت هر نگاشت مستوی9 برای هر بردار گوسی مختلط، دوباره بردار گوسی مختلط حاصل  می‌شود.  از  آنجایی  که  img0  یک  بردار  می‌‌باشد،  حاصل 

img0 یا  به  عبارتی img0 یک  اسکالر  گوسی  مختلط  خواهد  بود.

تحت فرضیه img0، img0 بردار گوسی مختلط با میانگین صفر و ماتریس کوواریانس img0 می‌‌باشد و در این صورت میانگین img0 برابر است با

img0        (پ- 1)

از آنجا که img0 یک بردار گوسی مختلط دارای خاصیت شایسته10 است، واریانس  قسمت  حقیقی img0،  نصف  واریانس  متغیر  تصادفی 

img0 می‌‌باشد؛ یعنی

img0        (پ- 2)

نیز  با  توجه  به  اینکه img0 و img0 

است، بنابراین

img0        (پ- 3)

به طور مشابه برای فرضیه img0، img0 یک بردار تصادفی گوسی مختلط با ماتریس کوواریانس img0 و میانگین img0 است؛ پس img0 متغیری گوسی 

با واریانس img0 و میانگین img0 خواهد بود که

img0        (پ- 4)

رابطه  اخیر  با  توجه  به  (15)  که  ماتریس img0،  یک  ماتریس  معین 

مثبت با تقارن هرمیتی می‌‌باشد به‌دست آمده است.

پیوست ب

برای اثبات لم 1 و حل مسأله بهینه‌‌سازی تخصیص توان img0، در ابتدا تابع لاگرانژ تشکیل می‌‌شود [17]

img0        (پ- 5)

که img0ها و img0 ضرایب لاگرانژ نامنفی مربوط به قیود مسئله هستند. برای محاسبه جواب بهینه از تابع لاگرانژ نسبت به img0ها مشتق گرفته می‌شود

img0        (پ- 6)

همچنین معادلات KKT را می‌‌توان به‌صورت زیر نوشت

img0        (پ- 7)

img0        (پ- 8)

در (پ- 6) پرواضح است که با توجه به نامنفی‌بودن img0ها و img0ها، تنها زمانی در تساوی برقرار است که img0 باشد که با توجه به (پ- 7) به این  معنا  خواهد  بود  که  جواب  بهینه  مسئله ، در  معادله img0 صدق می‌‌کند. همچنین با توجه به آنکه img0ها به ازای img0های مختلف با هم متفاوت هستند، برای تمام img0ها نمی‌‌تواند معادله img0 برقرار باشد. از طرفی حداقل برای یک اندیس img0 شرایط img0 برقرار است؛ زیرا اگر این شرایط وجود نداشته باشد، مطابق با (پ- 8) بدین معناست که برای تمام img0ها، img0 می‌‌باشد که این با img0 در تناقض است. بنابراین می‌‌توان نتیجه گرفت که یک و تنها یک اندیس img0 وجود دارد که در  آن  img0  است  و  با  توجه  به  شرایط  بهینه  img0، 

می‌‌توان نتیجه گرفت برای آن img0، img0 می‌‌باشد. اما پرسش این است به کدام شماره img0 باید توان پیک رادار اختصاص یابد. از تابع هدف img0 پرواضح  است  اگر  توان  پیک  رادار  به  اندیس img0 

که img0 بزرگ‌تر دارد اختصاص داده شود، مقدار بزرگ‌تری برای تابع هدف حاصل می‌شود که جواب مطلوب‌‌تری است. این موضوع را از لحاظ ریاضی نیز می‌توان اثبات کرد (فرض خلف). فرض می‌شود برای یک اندیس img0 که img0 آن بزرگ‌ترین نیست img0 باشد؛ در این صورت به ازای آن اندیس، img0 است و این با معادله img0 که 
به ازای اندیس img0 مقدار img0 بزرگ‌تری دارد در تناقض است؛ چون img0 و در این حالت (پ- 6) نقض خواهد شد که امکان‌ناپذیر است؛ پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.

پیوست ج

این پیوست به بررسی img0 می‌پردازد و نشان می‌دهد برای هر دسته تابع دلخواه محدب img0 می‌‌توان ثابت کرد img0 تابعی محدب است. بدین منظور فرض می‌‌شود img0 و img0 هستند که در آن img0 دامنه مشترک قابل تعریف تمام img0ها می‌‌باشد. بنابراین

img0        (پ- 9)

img0        (پ- 10)

از طرفی

img0        (پ- 11)

با مقایسه (پ- 10) و (پ- 11) به‌دست می‌آید

img0        (پ- 12)

و اثبات شد img0 تابع محدب است. با کمک (پ- 12) و نامساوی جنسن11

img0        (پ- 13)

از (پ- 13) به‌راحتی می‌‌توان دریافت که img0؛ لذا می‌‌توان دریافت که در (پ- 13) با افزایش تعداد زیرآرایه‌‌ها، تعداد متنوعی از img0 در اختیار خواهد بود و بنابراین متوسط سیگنال به کلاتر به نویز بزرگ‌تر خواهد شد. حال اگر فرض شود متوسط نسبت سیگنال به کلاتر به اضافه نویز برای تمام زیرآرایه‌‌ها یکسان است، ضعیف‌‌ترین چندگانگی ممکن بین زیرآرایه‌‌ها برقرار می‌باشد. در این وضعیت، تابع چگالی احتمال img0 در (41) برابر خواهد بود با

img0        (پ- 14)

با جایگذاری در (پ- 14) به‌دست می‌آید

img0        (پ- 15)

به‌راحتی می‌‌توان (پ- 15) را به‌صورت زیر نوشت

img0        (پ- 16)

حال با یک تغییر متغیر img0، می‌‌توان (پ- 16) را به‌صورت زیر محاسبه کرد

img0        (پ- 17)

عبارت img0 یک  انتگرال  عددی  فاقد img0 است  و  بنابراین  با 

مشتق‌‌گیری نسبت به img0 و سپس استفاده از بسط img0، (پ- 17) به‌صورت زیر ساده می‌‌شود

img0        (پ- 18)

با توجه به آنکه img0 است، نسبت متوسط سیگنال به نویز به کلاتر در PMR به PR برابر است با

img0        (پ- 19)

مراجع

[1]       E. Brookner, "Phased array radars-past, present and future," in Proc. RADAR'02, pp. 104-113, Edinburgh, UK, 15-17 Oct. 2002.

[2]       J. Li and P. Stoica, "MIMO radar with colocated antennas," IEEE Signal Processing Magazine, vol. 24, no. 5, pp. 106-114, Sep. 2007.

[3]       E. Fishler, A. Haimovich, R. S. Blum, L. J. Cimini, D. Chizhik, and R. A. Valenzuela, "Spatial diversity in radars-models and detection performance," IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 54, no. 3, pp. 823-838, Mar. 2006.

[4]       J. Li and P. Stoica, MIMO Radar Signal Processing, New York: Wiley, vol. 7, 2009.

[5]       A. Hassanien and S. A. Vorobyov, "Phased-MIMO radar: a tradeoff between phased-array and MIMO radars," IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 58, no. 6, pp. 3137-3151, Jun. 2010.

[6]       M. Jankiraman, FMCW Radar Design, Artech House, 2018.

[7]       Q. He, N. H. Lehmann, R. S. Blum, and A. M. Haimovich, "MIMO radar moving target detection in homogeneous clutter," IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 46, no. 3, pp. 1290-1301, Jul. 2010.

[8]       T. Zhang, G. Cui, L. Kong, and X. Yang, "Adaptive bayesian detection using MIMO radar in spatially heterogeneous clutter," IEEE Signal Processing Letters, vol. 20, no. 6, pp. 547-550, Jun. 2013.

[9]       M. Ahmadi and K. Mohamedpour, "Space-time adaptive processing for phased-multiple-input-multiple-output radar in the non-homogeneous clutter environment," IET Radar, Sonar & Navigation, vol. 8, no. 6, pp. 585-596, Jul. 2014.

[10]       X. Yu, G. Cui, J. Yang, and L. Kong, "MIMO radar transmit-receive design for moving target detection in signal-dependent clutter,"
IEEE Trans. on Vehicular Technology, vol. 69, no. 1, pp. 522-536, Jan. 2020.

[11]       A. J. Bogush, "Correlated clutter and resultant properties of binary signals," IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 9, no. 2, pp. 208-213, Mar. 1973.

[12]       K. Schacke, On the Kronecker Product, Master's Thesis, University of Waterloo, 2004.

[13]       H. L. Van Trees, Detection, Estimation, and Modulation Theory, Pt. 1, New York: Wiley, 1968.

[14]       M. J. Ghoreishian, S. M. Hosseini Andargoli, and F. Parvari, "Power allocation in MIMO radars based on LPI optimisation and detection performance fulfilment," IET Radar, Sonar & Navigation, vol. 14, no. 6, pp. 822-832, 2020.

[15]       J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, New York, McGraw-Hill, vol. 4, 2001.

[16]       F. E. Nathanson, J. P. Reilly, and M. N. Cohen, Radar Design Principles: Signal Processing and the Environment, NASA STI/Recon Technical Report A, USA, 1991.

[17]       S. Boyd and L. Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004.

 

حمید‎رضا فتوحي فیروزآباد تحصيلات خود را در مقطع كارشناسي مهندسی برق (الکترونیک) در سال 1383 از دانشگاه یزد، در مقطع كارشناسي ارشد مهندسی برق (مخابرات) در سال ۱۳93 از موسسه آموزش عالی خاوران مشهد و در مقطع دکتری مهندسی برق (مخابرات سیستم) در سال ۱400 از دانشگاه یزد به پایان رسانده است. زمينه‎هاي تحقيقاتي مورد علاقه ايشان عبارتند از: پردازش سیگنال‎هاي راداري و مخابرات بی‌سیم.

 

سیدمهدی حسینی اندارگلی تحصيلات خود را در مقطع كارشناسي مهندسی برق (الکترونیک) در سال 1383 از دانشگاه شاهد تهران، و در مقطع کارشناسی ارشد و دکتری مهندسی برق (مخابرات سیستم) به ترتیب در سالهای 1385 و 1390 از دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی به پایان رسانده است و هم‌اکنون دانشیار گروه مخابرات دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل می‌باشد. زمينه‎هاي تحقيقاتي مورد علاقه ايشان عبارتند از: مخابرات بی‌سیم، شبکه حسگر بی‌سیم، بهینه‌سازی محدب، پردازش راداری و کاربرد هوش مصنوعی در پردازش سیگنال.

 

حسين قانعی یخدان تحصيلات خود را در مقطع كارشناسي مهندسی برق (الکترونیک) در سال ۱۳۶۷ از دانشگاه صنعتی اصفهان، در مقطع كارشناسي ارشد مهندسی برق (مخابرات سیستم) در سال ۱۳۷۱ از دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی و در مقطع دکتری مهندسی برق (مخابرات سیستم) در سال ۱۳۸۸ از دانشگاه فردوسی مشهد به پایان رسانده است و هم‌اكنون دانشیار دانشكده مهندسي برق دانشگاه یزد مي‎باشد. زمينه‎هاي تحقيقاتي مورد علاقه ايشان عبارتند از: پردازش تصویر و ویدئوی دیجیتال، ردگیری هدف و شبکه‌های عصبی عمیق.

 

 

 

 

جمشید ابویی تحصيلات خود را در مقاطع كارشناسي و كارشناسي ارشد مهندسی برق (مخابرات) به‌ترتيب در سال‌هاي 1372 و 1375 از دانشگاه صنعتی اصفهان و در مقطع دکتری مهندسی برق (مخابرات) در سال ۱۳۸۸ از دانشگاه واترلوو کانادا به پایان رسانده است و هم‌اكنون دانشیار دانشكده مهندسي برق دانشگاه یزد مي‎باشد. زمينه‎هاي تحقيقاتي مورد علاقه ايشان عبارتند از: شبكه‌هاي حسگر بي‌سيم، مخابرات بی‌سیم و تخصيص منابع در سيستم‌هاي آنتن‌هاي انبوه.

 

 

[1] این مقاله در تاریخ 21 تير ماه 1400 دریافت و در تاریخ 17 مهر ماه 1401 بازنگری شد.

حمیدرضا فتوحی فیروزآباد، دانشکده مهندسی برق، دانشگاه یزد، یزد، ايران، (email: hrfotoohi@yahoo.com).

سید مهدی حسینی اندارگلی (نویسنده مسئول)، دانشکده مهندسی برق و کامپیوتر، دانشگاه صنعتی نوشیروانی بابل، بابل، ايران، 
(email: smh_andargoli@nit.ac.ir).

حسین قانعی یخدان، دانشکده مهندسی برق، دانشگاه یزد، یزد، ايران،
(email: hghaneiy@yazd.ac.ir).

جمشید ابویی، دانشکده مهندسی برق، دانشگاه یزد، یزد، ايران،  
(email: abouei@yazd.ac.ir).

[2] . Phased Radar

[3] . Space-Time Transmit Code

[4] . Space-Time Receive Filter

[5] . Phased MIMO Radar

[6] . Dwell Time

[7] . Optimal Sub-Array Selection

[8] . Signal Clutter Noise Ratio

[9] . Affine

[10] . Proper

[11] . Jensen Inequality

 


مقالات مرتبط

حقوق این وب‌سایت متعلق به سامانه مدیریت نشریات رایمگ است.
حق نشر © 1403-1396

صفحه اصلی| عضویت/ ورود| درباره رایمگ| تماس با ما|
[English] [العربية] [en] [ar]