Manuscript ID : 13990728250247 Visit : 3979 Page: 71 - 79

Article Type: Original Research

Measuring and Modeling Satellite Reaction Wheel Disturbances Using Acceleration and Force Sensors

Subject Areas : electrical and computer engineering

Arman Sehat nia ^{1
*} , F. Hashemzadeh ² , Hamid Guchi eskandar ³

1 - دانشگاه تبریز
2 -
3 -

Received: 2020-10-19 Accepted : 2022-02-19 Published : 2022-06-19

Keywords: Reaction wheel, observer, LMI, uncertain inputs,

Abstract :

The reaction wheel is one of the most sensitive devices used in spacecraft, which is easily disturbed. Nowadays, maintaining the status of the satellite and the ability to control it, is one of the most important issues due to the costly design and construction of such projects. To improve this process, identifying and modeling perturbations and analyzing their effects on system parameters to spot the defects, are very important. As a result, accurate identification and estimation of perturbations on reaction wheels through studying the effect of input uncertainty on the system state variables is necessary to reveal the internal condition of the spacecraft and identify its defects. For this reason, in this paper, a new observer is designed to estimate the uncertain perturbation and the system state vector. In this regard, by considering the dynamics of variable micro-turbulence with wheel imbalance time, we obtain the proposed observer’s design matrices at any time by performing a series of linear matrix inequality (LMI) calculations that converge and stabilize the estimation error based on Lyapuanv theorem. Then, the results are presented in a series of simulations in MATLAB software included the characteristic of estimated uncertain inputs and state vector of micro-turbulence model, in section four.

References:

[1] H. S. Oh and D. I. Cheon, "Precision measurements of reaction wheel disturbances with frequency compensation process," J. of Mechanical Science and Technology, vol. 19, no. 1, p.136.J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd Ed., vol. 2, Oxford: Clarendon, 1892, pp. 68-73, Jun. 2005.
[2] ع. آقالاري و م. ايرانزاد، "مدل سازی کامل اغتشاشات چرخ عکس العملی و پیاده سازی روی یک نمونه آزمایشگاهی،" فصلنامه علوم و فناوری فضایی، دوره 6، شماره 1، صص. 91-77، بهار 1392.
[3] B. J. Margolies, Systematic Evaluation and Analysis System for Yield Control in Large Cheese Factories, MS Thesis, 2017.
[4] A. Baimyshev, A. Zhakatayev, and H. A. Varol, "Augmenting variable stiffness actuation using reaction wheels," IEEE Access, vol. 4, pp. 4618-4628, 2016.
[5] K. C. Liu, P. Maghami, and C. Blaurock, "Reaction wheel disturbance modeling, jitter analysis, and validation tests for solar dynamics observatory," in Proc. AIAA Guidance, Navigation and Control Conf. and Exhibit, 18 pp., Honolulu, HI, USA, Aug. 2008.
[6] B. Xiao, Q. Hu, W. Singhose, and X. Huo, "Reaction wheel fault compensation and disturbance rejection for spacecraft attitude tracking," J. of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 36, no. 6, pp. 1565-1575, Nov. 2013.
[7] H. Yadegari, H. Chao, and Z. Yukai, "Finite time sliding mode controller for a rigid satellite in presence of actuator failure," in Proc. IEEE 3rd Int. Conf. on Information Science and Control Engineering, pp. 1327-1331, Beijing, China, 8-10 Jul. 2016.
[8] O. D. Montoya and W. Gil-Gonzalez, "Nonlinear analysis and control of a reaction wheel pendulum: Lyapunov-based approach," J. of Engineering Science and Technology, vol. 23, no. 1, pp. 21-29, Feb. 2020.
[9] P. Zhang, Z. Wu, H. Dong, M. Tan, and J. Yu, "Reaction-wheel-based roll stabilization for a robotic fish using neural network sliding mode control," J. of IEEE/ASME Trans. on Mechatronics, vol. 25, no. 4, pp. 1904-1911, Aug. 2020.
[10] H. Alkomy and J. Shan, "Modeling and validation of reaction wheel micro-vibrations considering imbalances and bearing disturbances," J. of Sound and Vibration, vol. 492, Article ID: 115766, 3 Feb. 2021.
[11] K. Ataalp and M. Gurtan, "System level analysis of reaction wheel micro-vibrations," in Proc. IEEE 9th Int. Conf. on Recent Advances in Space Technologies, pp. 301-306, Istanbul, Turkey, 11-14 Jun. 2019.
[12] J. Alcorn, C. Allard, and H. Schaub, "Fully coupled reaction wheel static and dynamic imbalance for spacecraft jitter modeling," J. of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 41, no. 6, pp. 1380-1388, Jun. 2018.
[13] J. Kampmeier, R. Larsen, L. F. Migliorini, and K. A. Larson, "Reaction wheel performance characterization using the kepler spacecraft as a case study," in Proc. SpaceOps Conf., 18 pp., Marseille, France, 28 May-1 Jun. 2018.
[14] G. Belascuen and N. Aguilar, "Design, modeling and control of a reaction wheel balanced inverted pendulum," in Proc. IEEE Biennial Congress of Argentina, 9 pp., an Miguel de Tucuman, Argentina, 6-8 Jun. 2018.
[15] J. T. King, "Increasing agility in orthogonal reaction wheel attitude control systems," Acta Astronautica, vol. 177, pp. 673-683, Dec. 2020.
[16] G. P. Neves, B. A. Angelico, and C. M. Agulhari, "Robust ℋ2 controller with parametric uncertainties applied to a reaction wheel unicycle," International J. of Control, vol. 93, no. 10, pp. 2431-2441, 2020.
[17] R. A. Masterson, D. W. Miller, and R. L. Grogan, "Development and validation of reaction wheel disturbance models: empirical model," J. of Sound Vibration, vol. 249, no. 3, pp. 575-598, Jan. 2002.
[18] Z. Zhang, G. S. Aglietti, and W. J. Ren, "Microvibration model development and validation of a cantilevered reaction wheel assembly," J. of Vibration, Structural Engineering and Measurement II, Applied Mechanics and Materials, Trans. Tech Publications, vol. 226, pp. 133-137, Nov. 2012.
[19] M. P. Le, Micro-Disturbances in Reaction Wheels, Ph.D. Dissertation. Eindhoven, Technische Universiteit Eindhoven, 2017.
[20] D. K. Kim, "Micro-vibration model and parameter estimation method of a reaction wheel assembly," J. of Sound and Vibration, vol. 333, no. 18, pp. 4214-4231, 1 Sept. 2014.
[21] H. Septanto, F. Kurniawan, B. Setiadi, E. Kurniawan, and D. Suprijanto, "Disturbance observer-based attitude control of the air-bearing platform using a reaction wheel," in Proc. IEEE Int. Conf. on Aerospace Electronics and Remote Sensing Technology, pp. 1-6, Nov. 2021.
[22] Y. Hu, Z. Lu, W. Liao, and X. Zhang, "Attitude control of the low earth orbit satellite with moving masses under strong aerodynamic disturbance," in Proc. IEEE 7th Int. Conf. on Mechanical Engineering and Automation Science, pp. 32-38, Seoul, South Korea, 28-30 Oct. 2021.
[23] X. Hou, J. Zhang, Y. Ji, W. Liu, and C. He, "Autonomous drift controller for distributed drive electric vehicle with input coupling and uncertain disturbance," J. of ISA Trans., vol. 120, pp. 1-17, Jan. 2021.
[24] Y. Si and M. A. Ayoubi, "Attitude tracking control of spacecraft with reaction wheel disturbances via takagi-sugeno fuzzy model," AIAA SCITECH Forum, pp. 1418-1419, San Diego, CA, USA & Virtual, 3-7 Jan. 2022.
[25] C. Aguiar, D. Leite, D. Pereira, G. Andonovski, and I. Skrjanc, "Nonlinear modeling and robust LMI fuzzy control of overhead crane systems," J. of the Franklin Institute, vol. 358, no. 2, pp. 1376-1402, Jan. 2021.
[26] M. Darouach, L. Boutat-Baddas, and M. Zerrougui, "H∞ observers design for a class of nonlinear singular systems," Automatica, vol. 47, no. 11, pp. 2517-2525, Nov. 2011.

Full-Text:

معرفي يک روش جديد خوشه‌يابي خودکار

مقاله پژوهشی

اندازه‌گیری و مدل‌سازی اغتشاشات چرخ عکس‌العملی ماهواره
با استفاده از سنسور شتاب و نیرو

آرمان صحت‌نیا، فرزاد هاشم‌زاده و حمید قوچی اسکندر

چكیده: چرخ‌ عکس‌العملی، یکی از حساس‌ترین ادوات مربوط به رانشگرهای فضایی است که به راحتی دستخوش اغتشاشات می‌شود. حفظ وضعیت ماهواره و توانایی در کنترل آن به دلیل پرهزینه بودن پروژه‌های طراحی و ساخت، یکی از مهم‌ترین مسایل مطرح‌شده این روزها می‌باشد. برای بهبود این روند، شناسایی و مدل‌کردن اغتشاشات و تحلیل تأثیرات آن بر پارامترهای سیستم جهت شناسایی و نقطه‌یابی نقص، از اهمیت بسیاری برخوردار هستند. در نتیجه شناسایی و تخمین دقيق اغتشاشات واردشده بر چرخ‌هاي عكس‌العملي و بررسی تأثیر این ورودی‌های نامعین بر متغیرهای حالت سیستم، امری ضرروی برای آشکارشدن وضعیت داخلی فضا‌پیما و شناسایی نقص آن است. به همین سبب در این مقاله از یک رؤیتگر جدید جهت تخمین بردار ورودی نامعین اغتشاش و بردار حالت سیستم استفاده شده است. در این راستا با در نظر گرفتن دینامیک میکرواغتشاش متغیر با زمان آنبالانس چرخ، ماتریس‌های طراحی رؤیتگر پیشنهادی در هر لحظه از زمان را با انجام یک سری محاسبات نامساوی‌های ماتریسی (LMI) به دست می‌آوریم که همگرایی و پایداری خطای تخمین این روش بر اساس قضیه لیاپانوف اثبات گردیده است. سپس نتایج طی یک سری شبیه‌سازی در نرم‌افزار Matlab با مشخصه تخمین ورودی بردار نامعین و بردار حالت مدل میکرواغتشاش، در بخش چهار ارائه می‌شوند.

کلیدواژه: چرخ‌ عکس‌العملی، رؤیتگر، نامساوی‌های ماتریسی، ورودی نامعین.

1- مقدمه

امروزه تحقیقات در زمینه رانشگرهای فضایی، جزء یکی از اولویت‌های پژوهشی دنیا به شمار می‌آید. در سال‌های اخیر سرمایه‌گذاری‌های سنگین در این زمینه، نشان‌دهنده اهمیت اجرای این پروژه‌ها می‌باشد. ماهواره‌ها به عنوان یکی از قسمت‌های اصلی رانشگرها حساسیت بسیار بالایی دارند. ميزان كارايي ماهواره‌ها جهت انجام مأموريت بستگي زيادي به ميزان ثبات ماهواره در وضعيت مطلوب دارد. حتی ارتعاشات بسيار كوچك هم مي‌تواند تأثير منفي در كيفيت پردازش و ارسال اطلاعات ماهواره داشته باشد و همان طور که می‌دانیم اين ارتعاشات ممكن است به
وسيله سيستم‌هاي مكانيكي یا حسگرهايي كه در ماهواره نصب شده‌اند، ايجاد شود.

در ساختار رانشگرهای فضایی، موقعیت‌یابی با گشتاور و سرعت زاویه‌ای مطلوب توسط چرخ‌های عکس‌العملی انجام می‌شود که یکی از مهم‌ترین پلتفرم‌های کاربردی هستند که به راحتی تحت تأثیر اغتشاشات قرار می‌گیرند. بنابراين مدل‌سازي دقيق اغتشاشات واردشده بر چرخ‌هاي عكس‌العملي و نهایتاً تخمین تأثير آنها بر روي متغیرهای حالت سیستم (همانند سرعت‌های خطی و زاویه‌ای در تمامی جهت‌ها) امري ضروري است. نهایتاً با اطلاعات به دست آمده توسط تخمین‌گرها، تأثیر اغتشاشات بر سیستم و منابع نقص قابل تحلیل خواهند بود. در تحقیقات اخیر، کیم و همکارانش [1] مدل اغتشاشات را از روش تست ارتعاشات و با به کارگیری مدل تحلیلی توسعه‌یافته حول یک محور به دست آورده و با استفاده از مثال‌های عددی و تست‌های عملی اعتبارسنجی نموده‌اند. آقالاری و ایران‌زاده [2] با بسط مدل تحلیلی غیرخطی هارمونیک چرخ عکسالعملی (عامل عدم تعادل چرخ)، تمامی هارمونیکهایی که سبب تقویت اغتشاش میشوند را مشخص نمودند. در راستای مدل‌سازی اغتشاشات، چرخ‌های عکس‌العملی لی ماینه فیوک [3] مدل بسیار جامع‌تری را با در نظر گرفتن اثرات بیرینگ‌ها و ساختار قسمت بالایی چرخ‌ها (Housing Structure) به همراه کلیه روابط ارائه داده است. مدل ارائه‌شده دارای 5 درجه آزادی است و سیستم دیسک و شفت با دو عدد بلبرینگ در کنار هم قرار دارند. خروجی اصلی این مدل، تئوری فرکانس رزونانس سیستم می‌باشد که با آزمایش بر روی چرخ آزمایشگاه بردفورد اعتبارسنجی شده است. در این اعتبارسنجی، تست رزونانس چرخ انجام شده و داده‌ها در مدل ترکیبی آمده‌اند. مدل تحلیلی ارائه‌شده در کار آقای وارول [4] قادر است نیروها و گشتاورهایی
را مدل کند که فرکانسی برابر با فرکانس دوران چرخ داشته باشند. در
این مدل با وجود پیچیدگی کمتر نسبت به روش‌های قبلی (اضافه‌شدن اغتشاشات به صورت توابع نیروی هارمونیک)، نیروها و گشتاورهای اغتشاشی امکان وقوع در فرکانس‌هایی متفاوت با فرکانس دوران چرخ را دارند. از این رو پارامترهای به دست آمده از مدل تجربی با مدل تحلیلی تلفیق شده و مدل تحلیلی بسط‌یافته را تشکیل داده است. در کار دیگر، چیا لیو و همکارانش [5] مدل اغتشاش چرخ عکس‌العملی را با آنالیز لرزش و تست‌های اعتبارسنجی برای دینامیک سیستم به دست آوردند.
در این روش آنها تأثیرات اغتشاش را با محدودکردن سرعت چرخ عکس‌العملی در پایین‌ترین مقدار خود، بررسی نمودند. ویلیام و همکارانش [6] در پژوهشی، روشی برای مقابله با عیب و اغتشاشات پیش‌آمده در یک چرخ عکس‌العملی را ارائه دادند. آنها برای بازسازی عیب و اغتشاشات برای ورودی‌های نامعین از یک رؤیتگر مد لغزشی استفاده نموده‌اند. در

شکل 1: زوايای اويلر و چرخش روتور [2].

این روش از اساس لیاپانوف² برای تضمین همگرایی رؤیتگر به مقادیر واقعی استفاده شده که با در نظر گرفتن نوع رؤیتگر، دارای محاسباتی پیچیده می‌باشد. حامد یادگاری و همکارانش [7] در پژوهش خود برای جبران عیب سیستم از نوعی رویتگر که ضرایب آنها بر اساس Tradeoff طراحی می‌شوند، جهت تخمین اغتشاش و تأثیرات آنها بر سیستم چرخ عکس‌العملی استفاده نموده‌اند.

همان طور که می‌دانیم، حفظ وضعیت ماهواره و توانایی در کنترل وضعیت آن به دلیل پرهزینه بودن و پیچیدگی پروژه‌های طراحی و ساخت، یکی از مهم‌ترین مسایل مطرح‌شده این روزها می‌باشد [8] و [9]. برای بهبود این روند، شناسایی و مدل‌کردن اغتشاشات و تحلیل تأثیرات آن بر متغیر‌های سیستم جهت شناسایی و نقطه‌یابی نقص از اهمیت بسیاری برخوردار است [10] تا [12]. تحلیل سیستم چرخ عکس‌العملی با احتساب حضور اغتشاشات و تأثیر آنها بر متغیرهای سیستم، پیچیدگی‌هایی را به همراه دارد که تحلیل انجام‌شده را به سیستم واقعی نزدیک‌تر می‌کند که عموماً در بسیاری از تحقیقات کنترلی از آن چشم‌پوشی می‌شود [13] تا [15]. همچنین عمدتاً از داده‌های واقعی در تحلیل سیستم چرخ عکس‌العملی استفاده نشده است [14] تا [16].

در این مقاله، مدل اغتشاشات و تخمین تأثیر آنها بر روی متغیرهای سیستم چرخ عکس‌العملی بدون نیاز به دستگاه شناسایی اغتشاشات بررسی گردیده است. در ابتدا با توصیف و شناسایی چرخ عکس‌العملی موجود، دینامیکی فضای حالت سیستم با حضور اغتشاشات، مدل شده است. سپس با توصیف "رؤیتگر با ورودی نامعین"، اساس روند تخمین
با در نظر گرفتن ورودی اغتشاشات به عنوان ورود نامعین، تشریح گردیده و سپس با ارائه طراحی "رؤيتگر ورودی نامعين توسعه‌يافته" برای مدل چرخ عکس‌العملی موجود، روند شناسایی اغتشاشات و تخمین تأثیر آنها
بر پارامترهای اصلی سیستم ارائه شده است. در ادامه، با استناد بر قضایای اثبات‌شده، ماتریس‌های طراحی رؤیتگر پیشنهادی با انجام یک سری محاسبات نامساوی‌های ماتریسی (LMI) به دست می‌آیند که همگرایی
و پایداری خطای تخمین این روش بر اساس قضیه لیاپانوف اثبات
شده است. نهایتاً نتایج حاصل از تخمین اغتشاشات و پارامترهای متأثر سیستم بر اساس داده‌های تجربی چرخ عکس‌العملی موجود، شبیه‌سازی گردیده تا بر اساس این نتایج، تحلیل‌های لازم در راستای شناسایی نقص انجام شود.

2- توصیف دینامیک سیستم

قسمت ديناميکی چرخ عکس‌العملی دارای يک ساختار متقارن است و جهت مدل‌سازی عملگر چرخ عکس‌العملی، روتور با يک ديسک صلب بر روی شفت به همراه دو عدد بيرينگ در کناره آن مدل می‌شود. از فنر و دشپات دمپر جهت نشان‌دادن سختی و دمپينگ هر يک از بيرينگ‌ها استفاده می‌شود و انتهای هر يک از بيرينگ‌ها از طريق روتور به شفت متصل می‌گردد [17] و [18].

جهت مدل‌سازی حرکت چرخ در فضای سه‌بعدی با استفاده از دستگاه مختصات بدنه چرخ و دستگاه مختصات مرجع که به صورت ثابت بر روی مرکز گرانش چرخ و موازی با چرخش در راستای محور قرار داده شده است، زوايای دوران اويلر (چرخش، خم و گردش) در (1) در جهات مختلف چرخش ديسک (روتور) مشخص می‌شوند. با در نظر گرفتن سرعت چرخ به هر ميزان مشخص، شتاب روتور در ۵ درجه آزادی متناظر با معادلات حرکت چرخشی و انتقالی به دست می‌آيد. معادلات حرکت با استفاده از معادله لاگرانژ استخراج شده و با در نظر گرفتن درجه آزادی برای دوران چرخ در راستای مختلف، معادله اويلر لاگرانژ به دست می‌آيد.

در سامانه‌های مکانيکی معيوب از جمله مواردی که حين آناليز فرکانسی (داده‌کاوی) باعث تبدیل سيگنال‌های اغتشاشی به مشخصه‌های فرکانسی منحصر به فرد می‌شود، عدم تعادل جرمی و غیر هم راستا بودن محورهای موازی می‌باشند. این واقعه در چرخ عکس‌العملی به صورت آنبالانسی ديناميکی و استاتيکی ظاهر می‌شود. آنبالانسی استاتيکی و ديناميکی (توسط جرم‌های و مدل شده و در ماتريس ظاهر شده‌اند) در عمل باعث ايجاد فاصله و زاويه بين محور اينرسی و محور دوران شده (شکل 1)که عامل اصلی خارج‌شدن چرخش روتور از محور دوران است که نهایتاً موجب ايجاد نيرو و گشتاورهای اغتشاشی (لرزشی) واردشده به چرخ عکس‌العملی می‌شوند. بدین ترتیب معادله حرکت چرخ آنبالانس از رابطه زير به دست می‌آيد [19]

(1)

(2)

(3)

(4)

که و به ترتیب زمان و سرعت چرخش، ماتریس شامل جرم کل چرخ و ممان اينرسی آن، ماتريس دمپينگ سيستم و ماتريس سختی فنر می‌باشد. هنگامی که چرخ در حالت تعادل باشد، سمت راست (1) برابر با بردار صفر است اما در حالتی که آنبالانسی استاتيکی و ديناميکی وجود داشته باشد، سمت راست معادله حرکت شامل برداری از هارمونيک‌های اصلی اغتشاشات مکانيکی (نيرو و گشتاور) می‌شود [20].

ابتدا فرم فضای حالت سيستم چرخ عکس‌العملی از روی (1) و تشکيل بردار حالت توسط بردار‌های ، و معرفی شده در (2) تا (4)، به شکل زیر بيان می‌گردد

(5)

با توجه به سنسورهای در دسترس، خروجی نیز به فرم زیر تعیین می‌شود

(6)

سپس با تبديل ديناميک سيستم چرخ عکس‌العملی به يک سيستم سينگولار، تمام نيروها و گشتاورهای اغتشاشی در قالب بردار ورودی نامعين قرار می‌گيرند که در ادامه با طراحی رؤيتگر و تخمين بردار ورودی نامعين در حقيقت نيروها و گشتاورهای اغتشاشی تخمين زده می‌شوند. در این صورت با تعریف بردار حالت به صورت

(7)

ماتريس‌های معادلات فضای حالت و خروجی چرخ عکس‌العملی به فرم (8) به دست می‌آیند. بنابراین شکل جدیدی برای مدل سیستم چرخ عکس‌العملی ارائه می‌شود تا با استفاده از این ساختار جدید، ماتریس‌های رؤیتگر بر اساس یک سری نامساوی پایداری محاسبه شوند.

باید توجه داشت که به هنگام تشکيل بردار خروجی می‌بايست شرايط لازم طراحی رؤيتگر بررسی شود. يکی از شرايط، این است که تعداد خروج‌ها از تعداد ورودی‌های نامعين کمتر نباشد. بديهی است که به منظور تخمين مناسب باید اطلاعات کافی از رفتار پاسخ سيستم در اختيار داشته باشيم و در صورتی که اين شرط برقرار نباشد، ماتريس‌های طراحی به دست نمی‌آيند. از طرف ديگر، فقط اطلاعاتی از خروجی قابل استفاده است که شرايط طراحی رؤيتگر را داشته باشند. در واقع با قراردادن سنسورهای نيرو و شتاب، فقط قسمتی از اطلاعات نمونه‌برداری شده از خروجی، قابل استفاده خواهند بود که شرايط لازم طراحی رؤيتگر را برآورده کنند. بدين منظور بردار خروجی به صورتی که در بالا آورده شده است می‌بايست تشکيل شود.

3- رؤیتگر ورودی نامعین

همان طور که می‌دانیم، رؤيتگر يک سيستم ديناميکی است که با استفاده از اطلاعات قابل دسترس ورودی و خروجی سيستم، حالت‌های غير قابل اندازه‌گيری آن را تخمين می‌زند. در عمل بنا به دلايلی از قبيل عيب در سيستم و سنسورها، اغتشاش و نويز، ورودی‌های نامعينی به سيستم اضافه شده [21] تا [23] و سپس با استفاده از روش‌های کنترلی هوشمند و کلاسیک، رؤیتگرهای متعددی طراحی گردیده است [24] و [25]. رؤيتگر ورودی نامعين، دسته‌ای از رؤيتگر‌ها می‌باشد که به منظور حل مشکل تخمين اين نوع از ورودی‌ها (که در عملگر چرخ عکس‌العملی نيز وجود دارند و به عنوان نيرو و گشتاورهای اغتشاشی شناخته می‌شوند) طراحی و به کار گرفته می‌شوند. در رؤيتگر ورودی نامعین، حالت‌های سيستم و ورودی‌های نامعين، بردار الحاقی جديدی را تشکيل می‌دهند و با تبديل سيستم خطی به يک سيستم سينگولار، شرايط و محدوديت‌های طراحی برای يک سيستم سينگولار مورد بررسی قرار گرفته می‌شود. در ادامه از يک تابع لياپانوف به منظور تحليل پايداری ديناميک خطای کمکی استفاده می‌شود. مراحل طراحی رؤيتگر و بررسی شرايط لازم جهت طراحی در ادامه بيان می‌گردد.

اگر سیستم خطی چرخ عکس‌العملی را به شکل زیر در نظر بگیریم

(9)

که در آن بردار حالت سیستم، ورودی نامعین و خروجی سیستم ‌باشد و همچنین با توجه به ، ، و ، بردار حالت‌ جدیدی به صورت معرفی می‌شود. لذا سیستم (9) به صورت زیر قابل تبدیل است

(10)

در ادامه رؤیتگر پیشنهادی و نحوه طراحی آن شرح داده می‌شود. رؤیتگر کاهش مرتبه یافته با دینامیک زیر را در نظر بگیرید

(11)

که در آن حالت رؤیتگر و تخمین است. ماتریس‌هایی که باید طراحی شوند عبارت هستند از: ، ، و . اين ماتريس‌ها می‌بايست به گونه‌ای طراحی شوند که خطای تخمين به صورت مجانبی به سمت صفر ميل کند. برای اين منظور يک خطای کمکی به صورت زير تعريف می‌شود تا با استفاده از آن بتوان پايداری خطای تخمين را تضمين کرد

(12)

با مشتقگیری از (12) دینامیک خطای کمکی محاسبه شده و با اضافه و کم کردن عبارت رابطه زير به دست می‌آید

(13)

حال اگر ماتریس به نحوی وجود داشته باشد که

(14)

معادله (13) به فرم زیر به دست می‌آید

(15)

با اضافه و کم‌کردن به طرف راست معادله خروجی رؤيتگر (11) و استفاده از معادله خروجی سيستم (10) داريم

(16)

[1] این مقاله در تاریخ 28 مهر ماه 1399 دریافت و در تاریخ 30 دی ماه 1400 بازنگری شد.

آرمان صحت‌نیا (نویسنده مسئول)، دانشكده مهندسي برق و كامپيوتر، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران، (email: a.sehat.nia@tabrizu.ac.ir).

فرزاد هاشم‌زاده، دانشكده مهندسي برق و كامپيوتر، دانشگاه تبریز، تبریز، ایران، (email: hashemzadeh@tabrizu.ac.ir).

حمید قوچی اسکندر، دانشكده فنی و مهندسي، واحد تبریز، دانشگاه آزاد اسلامی، تبریز، ایران (email: hamideskandar@gmail.com).

[2] . Lyapunov

(8)

اگر ماتريس به نحوی وجود داشته باشد که ، در اين صورت با توجه به (15) و (16) داریم

(17)

حال اگر شرایط مطرح‌شده در (14) و به صورت ماتریسی در کنار هم قرار داده شوند، خواهیم داشت

(18)

با توجه به (17) بديهی است که اگر به صورت مجانبی به سمت صفر ميل کند، آن گاه نیز به صورت مجانبی به سمت صفر ميل خواهد کرد. با استفاده از قضيه پايداری لياپانوف، نامساوی ماتريسی خطی زير را خواهيم داشت

(19)

از آنجایی که ماتریس‌های رؤیتگر می‌بایست در (18) صدق کنند. این معادله زمانی جواب دارد که شرط زیر برقرار باشد [26]

(20-1)

حال اگر ماتریس یک ماتریس دلخواه با رتبه سطری کامل باشد که

(20-2)

در این صورت طبق [26] ماتریس به صورت زیر به دست می‌آید

(21)

آن گاه جواب عمومی (18) به صورت زیر خواهد بود

(22)

که در آن و ماتريس‌های حقيقی دلخواه هستند. حال برای به دست آوردن روابط مربوط به ماتريس‌های رؤيتگر از معادله فوق، ماتريس‌های زير تعريف می‌شوند

(23)

(24)

بدین ترتیب، ماتريس‌های طراحی رؤيتگر با استفاده از معادلات ماتريسی (21) و روابط فوق، به شکل زیر به دست می‌آيند

شکل 2: مدل آنبالانسی چرخ عکس‌العملی [2].

(25)

جهت به دست آوردن ماتريس ، با جايگذاری ماتريس به دست آمده در روابط بالا در نامساوی ماتريسی خطی (19)، نامساوی ماتريسی زير به دست می‌آيد

(26)

نامساوی ماتريسی بالا به علت ظهور ترم‌های شامل ضرب ماتريس‌های مجهول ، غير خطی می‌باشد و جهت تبديل آن به نامساوی ماتريسی خطی بايد تغيير متغير لحاظ شود. سپس با در نظر گرفتن اساس پایداری لیاپانوف مبنی بر این که: "وجود دارد ماتریس‌های و مثبت معین و متقارنی که اگر نامساوی فوق برقرار باشد آن گاه خطای تخمین تولیدشده توسط رؤیتگر به صورت مجانبی پایدار خواهد بود." با حل این نامساوی LMI در Limset Toolbox متلب مقادیر ماتریسی مناسب برای به دست می‌آید و نهایتاً با در دست داشتن تمامی مجهولات از محاسبات فوق و با در نظر گرفتن ماتریس دلخواه ، مقادیر ماتریس‌های رؤیتگر محاسبه می‌شوند.

4- شبیه‌سازی و نتایج

در این بخش نتایج شبیه‌سازی‌های انجام‌شده برای تخمین ورودی نامعین و حالات چرخ عکس‌العملی بر اساس مشخصات چرخ عکس‌العملی اشاره‌شده، ارائه می‌گردد. در این راستا با استفاده از دو مثال متفاوت، درستی عملکرد رؤیتگر جدید مورد ارزیابی قرار می‌گیرد. بدین ترتیب با ارائه دو نمونه ورودی نامعین، یکی به صورت عددی و دیگری به صورت یک تابع پیوسته، مراحل شبیه‌سازی بیان شده و نتایج آن با استفاده از نرم‌افزار Matlab در قالب نمودارهای ردیابی به شرح زیر ارائه می‌گردد.

در مدل آنبالانس استاتیکی و دینامیکی چرخ عکس‌العملی (شکل 2) که به ترتیب توسط جرم‌های و مشخص می‌شوند، جرم خود چرخ در ماتریس به شکل زیر ظاهر ‌می‌شود

(27)

(28)

که و به ترتیب ممان اینرسی برآیند شعاعی و وزن چرخ می‌باشند. در این راستا (27) و (28) ماتریس‌های مورد نیاز برای تشکیل مدل میکرواغتشاش چرخ عکس‌العملی خواهند بود [18]. حال با توجه به محاسبات انجام‌گرفته (محاسبه ماتریس جرم، دمپینگ و سختی فنر سیستم) بر اساس فرمول‌های ارائه‌شده در بخش‌های قبلی، می‌توان به راحتی مدل میکرواغتشاش سیستم چرخ‌ را به شکل زیر برقرار کرد

(29)

اگر سیستم خطی چرخ عکس‌العملی به فرم (9) در نظر گرفته شود، آن گاه برای فضای ابعادی سیستم چرخ موجود، حالت‌های سیستم، ورودی‌های نامعین و خروجی سیستم می‌باشند. بدین ترتیب ماتریس‌های مشخصه فضای حالت سیستم فوق با توجه به (5) و (6) محاسبه می‌شوند. با توجه به اطلاعات بخش دوم و محاسبات فوق، دینامیک متغیر با زمان سیستم چرخ عکس‌العملی موجود به دست می‌آید. در این قسمت، روند طراحی ذکرشده در بخش سوم به همراه نتایج شبیه‌سازی برای مثال اول گام به گام توضیح داده‌ شده و برای مثال دوم فقط نتایج نهایی ارائه می‌شود.

4-1 ورودی نامعین، مثال اول

روند طراحی رؤیتگر پیشنهادی برای سیستم محاسبه‌شده فوق با مقادیر اولیه حالت‌های دلخواه و بردار ورودی نامعین متناسب با داده‌های واقعی به شرح زیر خواهد بود:

1) 5 ورودی اغتشاش شامل 3 نوع داده از جنس نیرو در 3 راستای ، و و 2 نوع داده از جنس گشتاور در جهت‌های و می‌باشند که با دامنه‌های بسیار کوچک در شکل‌های بعدی نشان داده می‌شوند.

2) با استفاده از (21) برای هر لحظه از زمان، مقدار محاسبه می‌شود. برای این کار یک ماتریس اختیاری با رتبه کامل انتخاب شده و مقدار به دست می‌آید.

3) با جایگذاری ماتریس در (23) و (24)، مقادیر ، ، و جهت حل (21) حاصل می‌شوند.

4) با حل نامساوی ماتریسی (26) توسط جعبه ابزار کنترل مقاوم نرم‌افزار Matlab، مقادیر ماتریس‌های ، و با در دست داشتن ماتریس‌های محاسبه‌شده در 2 مرحله قبلی به دست می‌آیند.

5) در آخر با تغییر متغیر و با استفاده از (25)، ماتریس‌های رؤیتگر برای هر لحظه از زمان محاسبه می‌شوند.

نتایج شبیه‌سازی‌های به دست آمده در دو قسمت، یکی تخمین ورودی‌ نامعین و دیگری تخمین حالات سیستم متأثر از ورودی‌ نامعین به ترتیب در شکلهای 3 تا 7 ارائه می‌شوند.

با توجه به نتایج فوق، همان طور که مشاهده می‌شود ورودی‌های نامعین از جنس نیرو و گشتاور در زوایا و جهت‌های مختلف که ناشی از آنبالانسی استاتیکی و دینامیکی چرخ عکس‌العملی هستند، توسط رؤیتگر پیشنهادی به طور کاملاً مطلوب ردیابی شده‌اند. بدین طریق با استخراج اطلاعات از رؤیتگر، شناسایی سیستم و تحلیل مشخصه‌ها به راحتی
قابل انجام خواهد بود. علاوه بر این، نتایج حاصل از تأثیر ورودی
اغتشاش بر حالات سیستم نیز به ترتیب زیر در شکلهای 8 الی 12 تخمین زده شده‌اند.

نتایج حاصل از این شکل‌ها در واقع نشان‌دهنده ردیابی حالات سیستم با ورودی‌ نامعین می‌باشد که رؤیتگر جدید به خوبی توانسته که تخمین در فرکانس‌های مختلف را انجام دهد. زمان نشست تخمین به طور تقریبی برابر با 2 ثانیه است که زمان قابل قبولی می‌باشد.

4-2 ورودی نامعین، مثال دوم

در این قسمت، مثال دیگری برای سیستم طراحی‌شده در بخش سوم

شکل 3: نمودار داده واقعی اغتشاش از جنس نیرو در راستای محور (نمودار آبی‌رنگ) و نمودار تخمین اغتشاش (نمودار قرمزرنگ).

شکل 5: نمودار داده واقعی اغتشاش از جنس نیرو در راستای محور (نمودار آبی‌رنگ) و نمودار تخمین اغتشاش (نمودار قرمزرنگ).

با مقادیر اولیه حالت‌های دلخواه در نظر گرفته شده است. در این مثال بردار ورودی نامعینی به شکل زیر اعمال می‌شود

(30)

هدف این است که با استفاده از یک مثال دیگر، مراحل تخمین ورودی اغتشاش نامعین و حالت‌های سیستم اجرا شود تا درستی عملکرد طراحی رؤیتگر جدید بار دیگر ارزیابی گردد. در این راستا با توجه به شکل‌ 13 ورودی‌ اغتشاش فرضی به خوبی توسط رؤیتگر پیشنهادی ردیابی شده است.

شکل 4: نمودار داده واقعی اغتشاش از جنس نیرو در راستای محور (نمودار آبی‌رنگ) و نمودار تخمین اغتشاش (نمودار قرمزرنگ).

$C:\Users\Arman\Desktop\ex\Codes of Reaction Wheel\me\4\R=4\New folder\14B14.jpg$

شکل 6: نمودار داده واقعی اغتشاش از جنس گشتاور در جهت زاویه (نمودار آبی‌رنگ) که مقدار رو به صفری دارد و نمودار تخمین اغتشاش (نمودار قرمزرنگ).

$C:\Users\Arman\Desktop\ex\Codes of Reaction Wheel\me\4\R=4\New folder\15B15.jpg$

شکل 7: نمودار داده واقعی اغتشاش از جنس گشتاور در جهت زاویه (نمودار آبی‌رنگ) که مقدار رو به صفری دارد و نمودار تخمین اغتشاش (نمودار قرمزرنگ).

نتایج به نمایش درآمده در شکلهای 13 تا 18 نیز نشان‌دهنده ردیابی حالات سیستم ناشی از ورودی نامعین فرضی هستند که توسط رؤیتگر پیشنهادی به خوبی ردیابی شده‌اند. همان طور که مشاهده می‌شود، رؤیتگر پیشنهادی در مدت زمان مناسب توانسته است که عملیات تخمین را به خوبی انجام دهد. همچنین با توجه به قضیه پایداری که نتایج آن در نامساوی (26) بیان شده است، پایداربودن سیستم به مقدار وابسته نمی‌باشد. لذا این ماتریس می‌تواند به صورت اختیاری انتخاب شود و در نتیجه می‌توان دسته‌ای از رؤیتگرها با عملکردهای متفاوت را نیز برای سیستم مورد نظر (10) طراحی کرد.

$C:\Users\Arman\Desktop\ex\Codes of Reaction Wheel\me\4\R=4\New folder\1.tif$

شکل 8: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

شکل 9: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

شکل 10: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

شکل 11: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

$C:\Users\Arman\Desktop\ex\Codes of Reaction Wheel\me\4\R=4\New folder\5.tif$

شکل 12: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

$C:\Users\BMG\Desktop\11.tif$

شکل 13: نمودار اغتشاش فرضی (نمودار آبی‌رنگ) و نمودار تخمین اغتشاش (نمودار قرمزرنگ).

$C:\Users\BMG\Desktop\1.tif$

شکل 14: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

$C:\Users\BMG\Desktop\2.tif$

شکل 15: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

$C:\Users\BMG\Desktop\3.tif$

شکل 16: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

5- نتیجه‌گیری

در این مقاله ابتدا مدل میکرواغتشاش چرخ عکس‌العملی توصیف شده و سپس ورودی‌های نامعین اغتشاش (برگرفته از داده‌های واقعی) به

$C:\Users\BMG\Desktop\4.tif$

شکل 17: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

$C:\Users\BMG\Desktop\5.tif$

شکل 18: نمودار متغیر حالت (خط آبی‌رنگ) و تخمین آن (خط‌چین قرمزرنگ).

دینامیک متغیر با زمان چرخ، در حالت آنبالانسی استاتیکی و دینامیکی، اعمال گردیده است. در ادامه، جهت شناسایی ورودی‌های نامعین که به صورت اغتشاش واردشده به سیستم در نظر گرفته می‌شوند و بررسی تأثیر آنها بر پارامترهای اصلی سیستم، از یک رؤیتگر جدید با فرم کاهش مرتبه یافته، استفاده گردیده که با استناد بر قضایای اثبات‌شده، ماتریس‌های طراحی رؤیتگر پیشنهادی در هر لحظه از زمان با انجام یک سری محاسبات نامساوی‌های ماتریسی (LMI) به دست می‌آیند که همگرایی
و پایداری خطای تخمین این روش بر اساس قضیه لیاپانوف اثبات شده است.

مراجع

[1] H. S. Oh and D. I. Cheon, "Precision measurements of reaction wheel disturbances with frequency compensation process," J. of Mechanical Science and Technology, vol. 19, no. 1, p.136.J. C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd Ed., vol. 2, Oxford: Clarendon, 1892, pp. 68-73, Jun. 2005.

[2] ع. آقالاري و م. ايرانزاد، "مدل سازی کامل اغتشاشات چرخ عکس العملی و پیاده سازی روی یک نمونه آزمایشگاهی،" فصلنامه علوم و فناوری فضایی، دوره 6، شماره 1، صص. 91-77، بهار 1392.

[3] B. J. Margolies, Systematic Evaluation and Analysis System for Yield Control in Large Cheese Factories, MS Thesis, 2017.

[4] A. Baimyshev, A. Zhakatayev, and H. A. Varol, "Augmenting variable stiffness actuation using reaction wheels," IEEE Access, vol. 4, pp. 4618-4628, 2016.

[5] K. C. Liu, P. Maghami, and C. Blaurock, "Reaction wheel disturbance modeling, jitter analysis, and validation tests for solar dynamics observatory," in Proc. AIAA Guidance, Navigation and Control Conf. and Exhibit, 18 pp., Honolulu, HI, USA, Aug. 2008.

[6] B. Xiao, Q. Hu, W. Singhose, and X. Huo, "Reaction wheel fault compensation and disturbance rejection for spacecraft attitude tracking," J. of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 36, no. 6,
pp. 1565-1575, Nov. 2013.

[7] H. Yadegari, H. Chao, and Z. Yukai, "Finite time sliding mode controller for a rigid satellite in presence of actuator failure," in Proc. IEEE 3rd Int. Conf. on Information Science and Control Engineering, pp. 1327-1331, Beijing, China, 8-10 Jul. 2016.

[8] O. D. Montoya and W. Gil-Gonzalez, "Nonlinear analysis and control of a reaction wheel pendulum: Lyapunov-based approach," J. of Engineering Science and Technology, vol. 23, no. 1, pp. 21-29, Feb. 2020.

[9] P. Zhang, Z. Wu, H. Dong, M. Tan, and J. Yu, "Reaction-wheel-based roll stabilization for a robotic fish using neural network sliding mode control," J. of IEEE/ASME Trans. on Mechatronics, vol. 25, no. 4, pp. 1904-1911, Aug. 2020.

[10] H. Alkomy and J. Shan, "Modeling and validation of reaction wheel micro-vibrations considering imbalances and bearing disturbances," J. of Sound and Vibration, vol. 492, Article ID: 115766, 3 Feb. 2021.

[11] K. Ataalp and M. Gurtan, "System level analysis of reaction wheel micro-vibrations," in Proc. IEEE 9th Int. Conf. on Recent Advances in Space Technologies, pp. 301-306, Istanbul, Turkey, 11-14 Jun. 2019.

[12] J. Alcorn, C. Allard, and H. Schaub, "Fully coupled reaction wheel static and dynamic imbalance for spacecraft jitter modeling," J. of Guidance, Control, and Dynamics, vol. 41, no. 6, pp. 1380-1388, Jun. 2018.

[13] J. Kampmeier, R. Larsen, L. F. Migliorini, and K. A. Larson, "Reaction wheel performance characterization using the kepler spacecraft as a case study," in Proc. SpaceOps Conf., 18 pp., Marseille, France, 28 May-1 Jun. 2018.

[14] G. Belascuen and N. Aguilar, "Design, modeling and control of a reaction wheel balanced inverted pendulum," in Proc. IEEE Biennial Congress of Argentina, 9 pp., an Miguel de Tucuman, Argentina, 6-8 Jun. 2018.

[15] J. T. King, "Increasing agility in orthogonal reaction wheel attitude control systems," Acta Astronautica, vol. 177, pp. 673-683, Dec. 2020.

[16] G. P. Neves, B. A. Angelico, and C. M. Agulhari, "Robust ℋ2 controller with parametric uncertainties applied to a reaction wheel unicycle," International J. of Control, vol. 93, no. 10, pp. 2431-2441, 2020.

[17] R. A. Masterson, D. W. Miller, and R. L. Grogan, "Development and validation of reaction wheel disturbance models: empirical model," J. of Sound Vibration, vol. 249, no. 3, pp. 575-598, Jan. 2002.

[18] Z. Zhang, G. S. Aglietti, and W. J. Ren, "Microvibration model development and validation of a cantilevered reaction wheel assembly," J. of Vibration, Structural Engineering and Measurement II, Applied Mechanics and Materials, Trans. Tech Publications, vol. 226, pp. 133-137, Nov. 2012.

[19] M. P. Le, Micro-Disturbances in Reaction Wheels, Ph.D. Dissertation. Eindhoven, Technische Universiteit Eindhoven, 2017.

[20] D. K. Kim, "Micro-vibration model and parameter estimation method of a reaction wheel assembly," J. of Sound and Vibration, vol. 333, no. 18, pp. 4214-4231, 1 Sept. 2014.

[21] H. Septanto, F. Kurniawan, B. Setiadi, E. Kurniawan, and D. Suprijanto, "Disturbance observer-based attitude control of the air-bearing platform using a reaction wheel," in Proc. IEEE Int. Conf. on Aerospace Electronics and Remote Sensing Technology, pp. 1-6, Nov. 2021.

[22] Y. Hu, Z. Lu, W. Liao, and X. Zhang, "Attitude control of the low earth orbit satellite with moving masses under strong aerodynamic disturbance," in Proc. IEEE 7th Int. Conf. on Mechanical Engineering and Automation Science, pp. 32-38, Seoul, South Korea, 28-30 Oct. 2021.

[23] X. Hou, J. Zhang, Y. Ji, W. Liu, and C. He, "Autonomous drift controller for distributed drive electric vehicle with input coupling and uncertain disturbance," J. of ISA Trans., vol. 120, pp. 1-17, Jan. 2021.

[24] Y. Si and M. A. Ayoubi, "Attitude tracking control of spacecraft with reaction wheel disturbances via takagi-sugeno fuzzy model," AIAA SCITECH Forum, pp. 1418-1419, San Diego, CA, USA & Virtual, 3-7 Jan. 2022.

[25] C. Aguiar, D. Leite, D. Pereira, G. Andonovski, and I. Skrjanc, "Nonlinear modeling and robust LMI fuzzy control of overhead crane systems," J. of the Franklin Institute, vol. 358, no. 2, pp. 1376-1402, Jan. 2021.

[26] M. Darouach, L. Boutat-Baddas, and M. Zerrougui, "H∞ observers design for a class of nonlinear singular systems," Automatica, vol. 47, no. 11, pp. 2517-2525, Nov. 2011.

آرمان صحت نیا تحصيلات خود را در مقطع كارشناسي مهندسی برق کنترل در سال‌های 1384 الی 1389 و كارشناسي ارشد مهندسی مکاترونیک در سال‌های 1390 الی 1392 در دانشگاه تبریز به پایان رسانده است و هماكنون به عنوان دانشجوی دکتری مهندسی برق کنترل دانشگاه تبریز مشغول می‌باشد. زمينه‎هاي علمي مورد علاقه نامبرده شامل موضوعاتي مانند سیستم‌های سویچینگ و کنترل مقاوم می‌باشد.

فرزاد هاشم‌زاده در سال 1382 مدرک کارشناسی مهندسی پزشکی خود را از دانشگاه صنعتی امیرکبیر و در سال 1385 مدرک کارشناسی ارشد مهندسی برق کنترل خود را از دانشگاه تهران و در سال 1391 مدرک دکتری تخصصی خود را در زمینه مهندسی برق کنترل از دانشگاه تبریز اخذ نموده است. دکتر هاشم زاده از سال 1391 به عنوان عضو هیأت علمی در دانشکده برق و کامپیوتر دانشگاه تبریز مشغول به کار هستند و هماکنون دارای درجه دانشیاری می‌باشند. زمينه‎هاي علمي مورد علاقه نامبرده متنوع بوده و شامل موضوعاتي مانند تل رباتیک، کنترل شبکه و سیستم‌های تاخیر‌دار می‌باشد.

حمید قوچی اسکندر تحصيلات خود را در مقطع كارشناسي مکانیک سیالات در سال‌های 1384 الی 1388 و مقطع کارشناسی ارشد مکانیک طراحی کاربردی در سال‌های 1391 الی 1393 در دانشگاه آزاد تبریز به پايان رسانده است.

Automatic Change Detection by Intelligent Backgrounding Method
Print Date : 2003-03-21
Speed Estimation and Sensorless Torque Optimization of Single Phase Induction Motor
Print Date : 2003-06-21
Optimal Design of Three-Phase Squirrel-Cage Induction Motor for Electric Vehicle
Print Date : 2003-06-21
A New Method in Design and Implementation of Electronic Synchronizer Based on Phase Locked Loop for Fast Paralleling of Diesel–Generators
Print Date : 2003-06-21
A New Circuit for Protecting of Series Connected Power Thyristors
Print Date : 2003-06-21
Cooperation in Multi-Agent Systems Using Learning Automata
Print Date : 2003-06-21

Share To

Article Url

Measuring and Modeling Satellite Reaction Wheel Disturbances Using Acceleration and Force Sensors