شناسایی پارامترهای تابع انتقال موتور DC بدون جاروبک با استفاده از الگوریتم ازدحام گروه ذرات
محورهای موضوعی : مهندسی برق و کامپیوتر
احمد شیرزادی
1
,
آرش دهستانی کلاگر
2
*
,
محمدرضا علیزاده پهلوانی
3
1 - دانشگاه صنعتی مالک اشتر
2 - دانشگاه صنعتی مالک اشتر
3 - دانشگاه صنعتی مالک اشتر
کلید واژه: الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام گروه ذرات, موتور DC بدون جاروبک, تابع انتقال, تخمین پارامتر,
چکیده مقاله :
تا کنون مطالعات جامع و گستردهای بر روی موتور DC بدون جاروبک (BLDC) صورت گرفته که بخشی از این مطالعات، ناظر بر تخمین پارامترهای تابع انتقال این موتور می‌باشد. تخمین پارامترهای تابع انتقال موتور BLDC امری ضروری جهت بررسی عملکرد موتور و پیشبینی رفتار آن است؛ بنابراین به یک روش تخمین پارامتر کارآمد، دقیق و قابل اعتماد احساس نیاز می‌شود. در این مقاله با استفاده از الگوریتم ازدحام گروه ذرات (PSO)، مسئله تخمین پارامترهای تابع انتقال مجموعه موتور BLDC و اینورتر مربوط به این موتور، حل شده است. نتایج حاصل از به‌کارگیری این الگوریتم با نتایج سایر الگوریتم‌های بهینه‌سازی فراابتکاری مقایسه شده و بررسی این نتایج نشان داده که الگوریتم PSO برای حل مسئله تخمین پارامتر تابع انتقال، یک روش کارآمد، دقیق و قابل اعتماد است.
So far, comprehensive and extensive studies have been conducted on the brushless DC motor (BLDC), and a part of these studies focuses on the estimation of the parameters of the transfer function of this motor. Estimation of BLDC motor transfer function parameters is essential to study motor performance and predict its behavior. Therefore, an efficient, accurate and reliable parameter estimation method is needed. In this article, the problem of estimating the parameters of the transfer function of the inverter-fed BLDC motor set has been solved using particle swarm algorithms (PSO). The results of using this algorithm have been compared with the results of other optimization algorithms. The comparison of these results has shown that the PSO algorithm is an efficient, accurate and reliable method for solving the transfer function parameter estimation problem.
[1] C. Xia, Permanent Magnet Brushless DC Motor Drives and Controls, Wiley, 2012.
[2] J. Cortés-Romero, A. Luviano-Juarez, R. Alvarez-Salas, and H. Sira-Ramírez, "Fast identification and control of an uncertain brushless DC motor using algebraic methods," in Proc. 12th IEEE Int. Power Electronics Congress, pp. 9-14, San Luis Potosi, Mexico, 22-25 Aug. 2010.
[3] C. L. Xia, Permanent Magnet Brushless DC Motor Drives and Controls, John Wiley & Sons, 2012.
[4] T. Li and J. Zhou, "High-stability position-sensorless control method for brushless DC motors at low speed," IEEE Trans. on Power Electronics, vol. 34, no. 5, pp. 4895-4903, May 2019.
[5] J. U. Liceaga-Castro, I. I. Siller-Alcalá, J. Jaimes-Ponce, R. A. Alcántara-Ramírez, and E. Arévalo Zamudio, "Identification and real time speed control of a series DC motor," Mathematical Problems in Engineering, vol. 2017, Article ID: 7348263, 2017.
[6] A. K. Wallace and R. Spee, "The effects of motor parameters on the performance of brushless DC drives," IEEE Trans. on Power Electronics, vol. 5, no. 1, pp. 2-8, Jan. 1990.
[7] Y. A. Apatya, A. Subiantoro, and F. Yusivar, "Design and prototyping of 3-phase BLDC motor," in Proc. 15th IEEE Int. Conf. on Quality in Research (QiR): Int. Symp. on Electrical and Computer Engineering, pp. 209-214, Nusa Dua, Bali, Indonesia 24-27 Jul. 2017.
[8] B. Vaseghi, N. Takorabet, and F. Meibody-Tabar, "Fault analysis and parameter identification of permanent-magnet motors by the finite-element method," IEEE Trans. on Magnetics, vol. 45, no. 9, pp. 3290-3295, Sept. 2009.
[9] IEEE Std. 1812-2014, IEEE Trial-Use Guide for Testing Permanent Magnet Machines, pp. 1-56, 2015.
[10] R. Beloiu, "Dynamic determination of DC motor parameters-simulation and testing," in Proc. of the 6th Int. Conf. on Electronics, Computers and Artificial Intelligence, ECAI'14, pp. 13-18, Bucharest, Romania, 23-25 Oct. 2014.
[11] R. Shanmugasundram, K. M. Zakaraiah, and N. Yadaiah, "Effect of parameter variations on the performance of direct current (DC) servomotor drives," J. of Vibration and Control, vol. 19, no. 10, pp. 1575-1586, 2013.
[12] I. Virgala and M. Kelemen, "Experimental friction identification of a DC motor," International J. of Mechanics and Applications, vol. 3, no. 1, pp. 26-30, 2013.
[13] S. A. Odhano, et al., "Identification of three-phase IPM machine parameters using torque tests," IEEE Trans. on Industry Applications, vol. 53, no. 3, pp. 1883-1891, May/June. 2017.
[14] C. Xiang, X. Wang, Y. Ma, and B. Xu, "Practical modeling and comprehensive system identification of a BLDC motor," Mathematical Problems in Engineering, vol. 2015, Article ID: 879581, 2015.
[15] S. Cong, G. Li, and X. Feng, "Parameters identification of nonlinear DC motor model using compound evolution algorithms," in Proc. of the World Congress on Engineering, vol. 1, 6 pp. 15-20, London, UK, 30 Jun.-2 Jul. 2010.
[16] I. Anshory, I. Robandi, and M. Ohki, "System identification of BLDC motor and optimization speed control using artificial intelligent," International J. of Civil Engineering and Technology, vol. 10, no. 7, pp. 1-13, 2019.
[17] K. Balamuruga and R. Mahalakshmi, "Parameter identification in BLDC motor using optimization technique," J. of Applied Science and Engineering Methodologies, vol. 3, no. 2, pp. 465-470, 2017.
[18] I. D. Landau and G. Zito, Digital Control Systems: Design, Identification and Implementation, Springer, 2006.
[19] E. B. Siqueira, J. L. Mor, R. Z. Azzolin, and V. M. de Oliveira, "Algorithm to identification of parameters and automatic re-project of speed controller of BLDC motor," IFAC-PapersOnLine, vol. 48, no. 19, pp. 256-261, 2015.
[20] Y. Yang, H. Chen, A. A. Heidari, and A. H. Gandomi, "Hunger games search: visions, conception, implementation, deep analysis, perspectives, and towards performance shifts," Expert Systems with Applications, vol. 177, Article ID: 114864, Sept. 2021.
[21] A. A. Heidari, et al., "Harris hawks optimization: algorithm and applications," Future Generation Computer Systems, vol. 97, pp. 849-872, Aug. 2019.
[22] I. Ahmadianfar, A. A. Heidari, A. H. Gandomi, X. Chu, and H. Chen, "RUN beyond the metaphor: an efficient optimization algorithm based on Runge Kutta method," Expert Systems with Applications, vol. 181, Article ID: 115079, Nov. 2021.
[23] S. Li, H. Chen, M. Wang, A. A. Heidari, and S. Mirjalili, "Slime mould algorithm: a new method for stochastic optimization," Future Generation Computer Systems, vol. 111, pp. 300-323, Oct. 2020.
[24] A. H. Wright, "Genetic algorithms for real parameter optimization," Foundations of Genetic Algorithms, vol. 1, pp. 205-218, 1991.
[25] J. Ronkkonen, S. Kukkonen, and K. V. Price, "Real-parameter optimization with differential evolution," in Proc. IEEE Congress on Evolutionary Computation, vol. 1, pp. 506-513, Edinburgh, UK, 2- 5 Sept. 2005.
[26] J. Kennedy and R. Eberhart, "Particle swarm optimization," in Proc. IEEE Int. Conf. on Neural Networks, ICNN'95, vol. 4, pp. 1942-1948, 1995.
[27] D. Kumpanya, S. Thaiparnat, and D. Puangdownreong, "Parameter identification of BLDC motor model via metaheuristic optimization techniques," Procedia Manufacturing, vol. 4, pp. 322-327, 2015.
[28] P. Erdogmus, Particle Swarm Optimization with Applications, IntechOpen, 2018.
[29] M. Clerc and J. Kennedy, "The particle swarm-explosion, stability, and convergence in a multidimensional complex space," IEEE Trans. on Evolutionary Computation, vol. 6, no. 1, pp. 58-73, Feb. 2002.
نشریه مهندسی برق و مهندسی كامپیوتر ایران، الف- مهندسی برق، سال 21، شماره 2، تابستان 1402 103
مقاله پژوهشی
شناسایی پارامترهای تابع انتقال موتور DC بدون جاروبک
با استفاده از الگوریتم ازدحام گروه ذرات
احمد شیرزادی، آرش دهستانی کلاگر و محمدرضا علیزاده پهلوانی
چكیده: تا کنون مطالعات جامع و گستردهای بر روی موتور DC بدون جاروبک (BLDC) صورت گرفته که بخشی از این مطالعات، ناظر بر تخمین پارامترهای تابع انتقال این موتور می‌باشد. تخمین پارامترهای تابع انتقال موتور BLDC امری ضروری جهت بررسی عملکرد موتور و پیشبینی رفتار آن است؛ بنابراین به یک روش تخمین پارامتر کارآمد، دقیق و قابل اعتماد احساس نیاز می‌شود. در این مقاله با استفاده از الگوریتم ازدحام گروه ذرات (PSO)، مسئله تخمین پارامترهای تابع انتقال مجموعه موتور BLDC و اینورتر مربوط به این موتور، حل شده است. نتایج حاصل از به‌کارگیری این الگوریتم با نتایج سایر الگوریتم‌های بهینه‌سازی فراابتکاری مقایسه شده و بررسی این نتایج نشان داده که الگوریتم PSO برای حل مسئله تخمین پارامتر تابع انتقال، یک روش کارآمد، دقیق و قابل اعتماد است.
کلیدواژه: الگوریتم بهینه‌سازی ازدحام گروه ذرات، موتور DC بدون جاروبک، تابع انتقال، تخمین پارامتر.
1- مقدمه
در حال حاضر، موتورهای DC بدون جاروبک (BLDC) از جمله تجهیزات باارزش در صنایع گوناگون به‌شمار می‌آیند و تقریباً با استفاده از این موتورها می‌توان در هزینههای هر صنعتی صرفه‌جویی نمود. موتور BLDC در واقع نشان‌دهنده پایان یا حداقل نتیجه نهایی یک تکامل طولانی در فناوری موتورهای الکتریکی است [1]. تا امروز، مطالعات جامع و گستردهای بر روی موتورهای BLDC صورت گرفته که بخشی از این مطالعات، ناظر بر تخمین پارامترهای تابع انتقال این موتورهاست. محاسبه پارامترهای تابع انتقال موتور BLDC امری ضروری جهت بررسی عملکرد این ماشین و پیشبینی رفتار آن می‌باشد؛ بنابراین در روش‌های کنترلی موتور، اطلاع دقیق از مقادیر پارامترهای تابع انتقال موتور یک موضوع اساسی است. در این راستا به یک روش تخمین پارامتر کارآمد، دقیق و قابل اعتماد احساس نیاز می‌شود. این مسئله در استانداردهای مطرح جهانی و در پژوهش‌ها و تحقیقات اخیر بحث شده و مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است. عملکرد مطلوب طرح‌های کنترلی معمولی برای موتورهای BLDC به اطلاعات موقعیت روتور و پارامترهای ماشین بستگی دارد. موقعیت روتور از طریق حسگرهای اثر هال و یا روش‌های بدون حسگر تعیین می‌شود؛ در حالی که پارامترها باید از قبل شناخته شوند و یا به صورت برخط تعیین شوند [2] و [3]. این پارامترها عبارتند از مقاومت سیم‌پیچی و اندوکتانس نشتی، ممان اینرسی روتور، ثابت نیروی ضد محرکه و ضرایب میرایی یا اصطکاک [4] و [5]. در این خصوص، چندین روش برای تعیین پارامترهای موتور وجود دارد. با این حال، یک تخمین دقیق منوط به اطلاعات دقیق از طراحی ماشین می‌باشد. اهم این اطلاعات عبارتند از مواد هسته استاتور و روتور، هندسه استاتور و روتور، نوع آهن‌رباهای دائمی و توزیع سیم‌پیچی. هنگامی که این اطلاعات در دسترس باشد، روش‌های رایجی برای تعیین پارامترهای موتور وجود دارد که عبارتند از مدل‌های کلاسیک مدارهای مغناطیسی و یا تحلیل اجزای محدود 2(FEA) [6] تا [8]. معمولاً اطلاعات دقیقی در مورد نحوه طراحی یک ماشین خریداری‌شده در دسترس نیست؛ بنابراین انجام آزمایش‌های استاندارد جهت حصول پارامترهای مذکور مدنظر قرار میگیرد [9]. در [5] و [10] تا [12]، مقاومت سیم‌پیچی و اندوکتانس نشتی استاتور، ممان اینرسی روتور و ضریب میرایی موتور DC با تجزیه و تحلیل پاسخ پله آن و با استفاده از آزمایش‌های روتور قفل‌شده و بی‌باری تعیین شده‌اند. در [13]، یک آزمایش روتور قفل اصلاح‌شده برای تعیین اندوکتانسهای محورهای مستقیم و چهارگانه و ثابت نیروی ضد محرکه یک موتور سنکرون مغناطیس دائم انجام گرفته است. در [14]، موتور با فرکانس متغیر تحریک شده و با استفاده از پاسخهای فرکانسی مختلف، پارامترهای تابع انتقال موتور تخمین زده شده است. ایراد اصلی این آزمایشها آن است که در شرایط بسیار خاص (روتور قفل‌شده، سرعت صفر و بدون بار) پارامترهای موتور را تعیین می‌کنند. این شرایط باعث می‌شود که عملکرد دینامیکی کار عادی موتور به‌طور دقیق نشان داده نشود و بنابراین نتایج این آزمایشها نیاز به اصلاح دارند. پارامترهای الکتریکی و مکانیکی نیز به دلایل مختلف در معرض تغییر هستند. مثلاً مقاومت استاتور، ضریب میرایی و قدرت مغناطیسی آهن‌ربای دائم با دما تغییر می‌کنند. همچنین اندوکتانسهای ناشی از میدان مؤثر شکاف هوایی به‌طور غیرخطی با دما تغییر می‌کنند. علاوه بر این، ضریب میرایی با سرعت روتور تغییر مینماید. این تغییرات با استفاده از طرح‌های شناسایی برخط و بر اساس روش‌های بهینه‌سازی و کنترل‌کننده‌های تطبیقی جبران می‌شود [2]، [11] و [15]. در [15]، الگوریتم ژنتیک و الگوریتم غیرمرکب جهت تعیین پارامترهای غیرخطی اصطکاک موتور DC بدون جاروبک استفاده شده است. در [2]، یک روش شناسایی جبری همراه با یک جستجوی گرادیان کلاسیک
شکل 1: مدار معادل موتور DC بدون جاروبک و مدار تغذیه آن.
به‌صورت برخط بر روی یک موتور DC بدون جاروبک جهت تنظیم یک کنترل‌کننده سرعت تطبیقی استفاده شده است. مدل مورد استفاده یک مدل ساده بوده که ضریب میرایی در آن نادیده انگاشته شده است. در تحقیقات پیشین از رهیافت‌های هوشمند مثل شبکه‌های عصبی مصنوعی، ازدحام ذرات و الگوریتم‌های خفاش نیز در تعیین پارامترهای موتور DC بدون جاروبک استفاده شده است [16] و [17]. در این مقالات، مقادیر پارامترهای تابع انتقال مورد استفاده در مرحله طراحی سیستم کنترل با کمک روش تخمین حداقل مربعات (LS) تعیین شده است. در این رویکرد، خروجی اندازهگیری شده با خروجی مدل‌سازی شده مقایسه شده و تفاوت سیگنالهای خروجی به حداقل میرسد. با فرض یک مدل دقیق، روش LS یک روش تخمین پارامتر قدرتمند، کارآمد، قابل اعتماد و آسان جهت پیاده‌سازی می‌باشد [18]. در این روش، امکان تعیین پارامترهای مدل پویا و بهبود عملکرد یک کنترل‌کننده سرعت خطی فراهم شده است [19]. در مقاله حاضر از تابع هدف مجموع خطای مربعات 3(SSE) جهت تخمین پارامترهای تابع انتقال موتور BLDC استفاده می‌شود. علاوه بر مقدار SSE، مقادیر زمان نشست4، زمان صعود5، مقدار صعود و زمان گذرا نیز برای مقادیر پاسخ تابع انتقال حاصل از پارامترهای تخمینی تابع انتقال، محاسبه و در نتایج نهایی مقاله آورده شده است. نوآوری اصلی مقاله حاضر عبارت از تخمین پارامترهای مستقل تابع انتقال موتور BLDC و اینورتر مربوط به آن و حل این مسئله با استفاده از الگوریتم‌های نوین بهینه‌سازی بازی گرسنگی 6(HGS) [20]، هریس‌هاوکس 7(HHO) [21]، رانگ کوتا 8(RUN) [22]، کپک مخاطی 9(SMA) [23]، ژنتیک 10(GA) [24]، تفاضل تکاملی 11(DE) [25] و ازدحام گروه ذرات 12(PSO) [26] است. در این مقاله نشان داده می‌شود که الگوریتم PSO برای حل مسئله تخمین پارمترهای تابع انتقال، روشی کارآمد، دقیق و قابل اعتماد است.
در سایر مقالات برای مدل‌سازی تابع انتقال موتور BLDC از مدل مورد تأیید استاندارد IEEE استفاده شده است [27]. همچنین در مقاله حاضر نیز از این مدل استفاده شده و به‌علاوه در این خصوص، توضیحاتی در بخش دوم ارائه گردیده است. در بخشهای سوم و چهارم به‌ترتیب مقدار پیچیدگی محاسباتی و تابع هدف مسئله آمده است. بخش پنجم نیز سهم اصلی در این مقاله را به خود اختصاص داده و به تبیین الگوریتم بهینه‌سازی PSO و نحوه به‌کارگیری آن می‌پردازد. در بخش ششم، نتایج شبیهسازیها و مقایسه نتایج الگوریتم PSO با نتایج حاصل از سایر روش‌های بهینه‌سازی ارائه می‌گردد.
2- تابع انتقال موتور DC بدون جاروبک
مدار معادل موتور DC بدون جاروبک سه‌فاز در شکل 1 آمده است.
در این مدار معادل، 
مقاومت فاز سیم‌پیچ آرمیچر، 
اندوکتانس خودالقایی و 
اندوکتانس متقابل سیم‌پیچ‌های آرمیچر می‌باشد. معادله ولتاژ فاز در مدار معادل فوق به‌صورت (1) قابل نوشتن است
(1)
با توجه به اینکه سیم خنثی در مجموعه سیمهای خروجی از ترمینال این موتور وجود ندارد، تشخیص ولتاژ فازی موتور دشوار است. در نتیجه در (2)، معادله ولتاژ خط استخراج شده است
(2)
در هر لحظه از زمان فقط دو فاز از سه فاز موتور BLDC تحریک می‌شود. بنابراین در لحظهای که ولتاژ فقط به سیم‌پیچ‌های فاز A و B متصل شده است، (3) در خصوص جریان‌های موتور برقرار می‌باشد
(3)
بر اساس (2) و (3) می‌توان ولتاژ خط 
را به‌صورت (4) نوشت
(4)
با فرض اینکه ولتاژ چرخشی موتور صفر باشد می‌توان گفت 
و 
از نظر دامنه برابر هستند و بنابراین (4) به صورت (5) قابل بازنویسی است
(5)
که 
ولتاژ باس DC، 
مقاومت سیم‌پیچ خط 
و 
اندوکتانس معادل سیم‌پیچ به‌صورت 
می‌باشد. همچنین 
سرعت زاویهای چرخش موتور، 
ثابت نیروی ضد محرکه، 
تعداد دور سیم‌پیچی، 
حاصل‌ضرب شعاع روتور در طول مؤثر هادیها، 
حداکثر مقدار توزیع چگالی شار مغناطیس دائم در شکاف هوایی و 
تعداد زوج قطب است. گشتاور موتور BLDC نیز به‌صورت (6) قابل نوشتن است
(6)
شکل 2: مدل‌سازی موتور DC بدون جاروبک، بدون گشتاور بار.
که 
ثابت گشتاور، 
جریان فاز در حالت دائم و همچنین 
حداکثر مقدار پیوند شار مغناطیس دائم با هر سیم‌پیچی است. برای روتور (بخش گردان) که یک سیستم مکانیکی است، (7) با استفاده از قانون دوم نیوتن برقرار می‌باشد
(7)
که در این رابطه، 
گشتاور الکترومغناطیسی موتور، 
گشتاور بار، 
ممان اینرسی روتور و 
نیز ضریب اصطکاک موتور می‌باشد. در ادامه با جایگزینی (6) در (7)، (8) حاصل می‌شود
(8)
طبق رابطه فوق، جریان بی‌باری در موتور BLDC عبارت است از
(9)
با جایگذاری (9) در (5)، (10) حاصل می‌شود
(10)
که می‌توان آن را به‌صورت (11) مرتب نمود
(11)
با اعمال تبدیل لاپلاس به (11)، تابع انتقال موتور به‌صورت رابطه زیر تعیین می‌شود
(12)
بنابراین مدل بلوک دیاگرامی موتور BLDC بدون بار در حوزه لاپلاس، مطابق شکل 2 قابل نمایش است.
با تعریف ثابت زمانی مکانیکی 
و ثابت زمانی الکترومغناطیسی 
به‌صورت زیر
(13)
(14)
می‌توان تابع انتقال موتور را که در (12) ارائه شده است به‌صورت (15) بیان نمود
جدول 1: کران‌ها و تعداد مقادیر متصور برای هر یک از پارامترهای تابع انتقال.
دقت تخمین | بیشترین مقدار پارامترها | کمترین مقدار پارامترها | مقادیر [27] | پارامترها | |
6-10 | ۳۰۰۰۰۰۱ | 3 | ۰ | 9648/2 |
|
6-10 | ۵۰۰۰۰۱ | 5/0 | ۰ | 0014/0 |
|
6-10 | ۵۰۰۰۰۱ | 5/0 | ۰ | 0001/0 |
|
6-10 | ۵۰۰۰۰۱ | 5/0 | ۰ | 311/0 |
|
(15)
به‌طور کلی، ثابت زمانی مکانیکی بسیار بزرگ‌تر از ثابت زمانی الکترومغناطیسی است 
[1].
موتورهای BLDC با تغذیه توسط اینورتر به حرکت درمیآیند. چنین محرکی را می‌توان با تابع انتقال 
توصیف نمود. بنابراین تابع انتقال مجموعه موتور و اینورتر عبارت است از
(16)
در رابطه فوق، 
ثابت اینورتر و 
ثابت زمانی اینورتر می‌باشد. در [27] علاوه بر تخمین پارامترهای تابع انتقال موتور، پارامترهای تابع انتقال مدار اینورتر نیز تخمین زده شده است. البته در [27]، پارامترهای 
و به‌صورت مستقل تخمین زده شده‌اند؛ در صورتی که این دو پارامتر در واقعیت از هم مستقل نیستند. پس در مقاله حاضر، پارامترهای 
و به‌صورت یک پارامتر با عنوان 
در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه، تابع انتقال موتور و اینورتر به‌صورت (17) قابل بیان است
(17)
3- پیچیدگی محاسباتی PSO و فضای مسئله
در خصوص میزان پیچیدگی محاسباتی الگوریتم PSO، قابل ذکر است که این پیچیدگی وابسته به سه فرایند مقداردهی اولیه، محاسبه تابع هدف و به‌روزرسانی ذرات است. در این راستا می‌توان گفت که با تعداد جمعیت برابر با ، پیچیدگی زمانی مربوط به فرایند مقداردهی اولیه از مرتبه 
بوده و پیچیدگی زمانی مربوط به مکانیزم به‌روزرسانی ذرات نیز از مرتبه 
می‌باشد. در این رابطه، متغیر 
بیانگر حداکثر تعداد تکرار بوده و بنابراین میزان پیچیدگی محاسباتی الگوریتم PSO یا تعداد فراخوانی تابع انتقال از رابطه 
قابل استحصال است. مثلاً با فرض اینکه تعداد جمعیت برابر با 10 باشد و همچنین با درنظرگرفتن حداکثر 999 تکرار، قابل محاسبه است که تعداد فراخوانی‌های تابع هدف، برابر با 10000 بار خواهد بود.
تعداد مقادیر متصور برای هر یک از پارامترهای مسئله تخمین پارامترهای تابع انتقال با فرض این که کران پارامترها محدود و میزان دقت تخمین 6-10 باشد، در جدول 1 آمده است. بنابراین برای محاسبه تمامی حالات ممکن برای پارامترهای ارائه‌شده با فرض استقلال پیشامد حالات پارامترها نسبت به یکدیگر، می‌توان بیان کرد که تعداد کل حالت‌های قابل تصور در این مسئله، برابر با 
حالت است. در مقاله حاضر نشان داده شده که الگوریتم PSO، صرفاً با درنظرگیری
شکل 3: ویژگیهای مربوط به پاسخ تابع انتقال.
10000 حالت از تعداد کل حالت ممکن، قادر است که تخمین مناسبی را از پارامترهای تابع انتقال به‌دست آورد.
4- تعریف تابع هدف
جهت ارزیابی پارامترهای تخمینی از تابع هدف 13(OF) مشخصی استفاده می‌شود. تابع هدف در این مسئله، میزان انحراف بین داده‌های اندازه‌گیری‌شده از سرعت در واقعیت و سرعت حاصل از تابع انتقال است که توسط پارامترهای تخمین‌زده‌شده، مقداردهی گردیده است. مقدار این انحراف با استفاده از مجموع خطای مربعات (18) محاسبه می‌شود. در این رابطه، عبارت 
و 
به‌ترتیب سیگنال سرعت تخمینی و سرعت حاصل از اندازهگیری (مرجع) می‌باشد
(18)
منحنی سرعت با استفاده از حل عددی (17) و با درنظرگرفتن مقدار ولتاژ ثابت محاسبه شده است. پاسخ تابع انتقال دارای ویژگیهایی می‌باشد که به‌صورت نمایشی در شکل 3 نشان داده شده‌اند.
منحنی سرعت و تابع هدف به ازای تغییر مقادیر مرجع جدول 1 در شکل 4 ترسیم شده است. در این شکل نشان داده شده که افزایش یا کاهش در مقدار هر یک از پارامترهای تابع انتقال تا چه میزان بر منحنی سرعت و سرعت حالت دائم و تابع هدف اثرگذار است. همچنین در این شکل، پویایی مشخصه سرعت تابع انتقال نسبت به هر یک از پارامترهای تابع انتقال نشان داده شده است. به‌علاوه با توجه به این شکل مشخص است که هر پارامتر از تابع انتقال توسط کدامیک از حالت‌های گذرا یا دائم سیگنال سرعت قابل تخمین‌زدن می‌باشد. مثلاً تغییر مقدار متغیر اثری بر مقادیر زمان گذرای پاسخ تابع انتقال نداشته است؛ بنابراین فقط با استفاده از اندازهگیری حالت دائم سرعت می‌توان پارامتر تابع انتقال را تخمین زد.
5- الگوریتم PSO
الگوریتم PSO در سال 1995 توسط کندی14 و ابرهارت15 ارائه شد [26] و اﯾﺪه اوﻟﯿﻪ آن ﺑﺮ اﺳﺎس ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی رﻓﺘﺎری ﭘﺮواز ﻏﯿﺮﻗﺎﺑﻞ ﭘﯿﺶﺑﯿﻨﯽ ﭘﺮﻧﺪﮔﺎن است. ﭘﺮﻧﺪﮔﺎن، ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽ ﭘﺮواز هم‌زﻣﺎن و ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﺑﺎ ﻫﻢ، ﺗﻐﯿﯿﺮ ﺟﻬﺖ دادن‌های ﻧﺎﮔﻬﺎﻧﯽ و در ﻋﯿﻦ ﺣﺎل در ﯾﮏ ﺷﮑﻞ ﺑﻬﯿﻨﻪ را دارﻧﺪ. ﻫﺮ ﮐﺪام از ﭘﺮﻧﺪﮔﺎن، ﺗﻮاﻧﺎﯾﯽﻫﺎیی در ﻧﺎوﺑﺮی پرواز خود داشته و ﻣﺴﯿﺮ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺧﻮد را در ﻧﻈﺮ ﻣﯽﮔﯿﺮند. در ﻋﯿﻦ ﺣﺎل، هر پرنده ﺑﻪ ﻣﻮﻗﻌﯿﺖ ﺧﻮد
شکل 4: منحنی سرعت- زمان، سرعت حالت دائم و تابع هزینه بر حسب تغییرات پارامترهای تابع انتقال.
ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺳﺎﯾﺮ ﭘﺮﻧﺪﮔﺎن ﺟﻤﻌﯿﺖ ﻧﯿﺰ ﺑﯽﺗﻮﺟﻪ نبوده و ﺑﻪ ﺣﻔﻆ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ آنها ﻣﯽﭘﺮدازد. ﺑﺪﯾﻦ ﺟﻬﺖ، ﻣﺸﺎﻫﺪه می‌شود ﮐﻪ دﺳﺘﻪﻫﺎی ﭘﺮﻧﺪﮔﺎن، ﺑﺴﯿﺎر ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﺑﺎ ﯾﮑﺪﯾﮕﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ. همچنین حرکت پرندگان متأثر از راﻫﻨﻤﺎﯾﯽ ﯾﮏ ﭘﺮﻧﺪه در ﺟﻠﻮی دﺳﺘﻪ نیز می‌باشد. ﻣﺴﯿﺮ ﺣﺮﮐﺖ ﺟﻠﻮﺗﺮﯾﻦ ﭘﺮﻧﺪه، ﺗﺄﺛﯿﺮ زﯾﺎدی در ﻧﺤﻮه ﺣﺮﮐﺖ دﺳﺘﻪ دارد و اﯾﻦ راﻫﻨﻤﺎ در ﻃﻮل ﻣﺴﯿﺮ ﻃﻮﻻﻧﯽ ﺛﺎﺑﺖ ﻧﯿﺴﺖ و ﭘﺮﻧﺪﮔﺎن به طور ﻣﺮتب ﺟﺎی ﺧﻮد را ﺑﺎ راﻫﻨﻤﺎ ﻋﻮض ﻣﯽﮐﻨﻨﺪ [28].
شکل 5: به‌روزرسانی موقعيت ذره در الگوریتم ازدحام ذرات.
ﻫﻤﻪ اﯾﻦ پدیده‌های طبیعی در ﺷﺒﯿﻪﺳﺎزی رﯾﺎﺿﯽ و ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﻬﯿﻨﻪﺳﺎزی به کمک الگوریتم PSO، ﻣﺪﻧﻈﺮ ﻗﺮار ﻣﯽﮔﯿﺮند. در الگوریتم PSO ﻫﺮ ﮐﺪام از اﻋﻀﺎی اﺟﺘﻤﺎع، ﯾﮏ ذره ﻧﺎﻣﯿﺪه ﻣﯽﺷﻮد. در مقاله حاضر، مقادیر پارامترهای تابع انتقال (17)، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ با اﯾﻦ ذرات می‌باشند.
5-1 شبیه‌سازی ریاضی الگوریتم PSO
در الگوریتم PSO به‌روزرسانی بردار سرعت هر ذره بر اساس رابطه (19) صورت می‌پذیرد
(19)
با استفاده از (20) نیز موقعیت هر ذره به‌روزرسانی می‌شود
(20)
پارامترهاى موجود در روابط فوق و مربوط به الگوریتم PSO عبارتند از
: موقعيت ذره ام
: سرعت ذره ام
و 
: ضریب تنظیم الگوریتم
و 
: عددی تصادفی در محدوده 
: بهترين خاطره ذره ام
: بهترين ذره در ميان تمام ذرات
در (19)، سه مؤلفه در به حرکت درآوردن ذرات (به‌روزرسانی موقعیت ذرات) در هر تکرار نقش‌آفرینی می‌کنند که این سه مؤلفه در شکل 5 نشان داده شده‌اند. در ادامه، این مؤلفهها بررسی میشوند.
مؤلفه اینرسی16: عبارت 
در رابطه بردار سرعت (19)، مؤلفه اینرسی را نشان میدهد و این مؤلفه به سرعت حرکت قبلی ذره 
و یک ضریب ثابت 
بستگی دارد. پارامتر ثابت وزن اینرسی است و مقدار آن مثبت و ثابت می‌باشد. این ضریب ثابت برای متوازن‌کردن فازهای جستجوی الگوریتم حائز اهمیت است و تغییر وضعیت الگوریتم از فاز اکتشاف به جستجوی محلی توسط این ضریب تنظیم خواهد شد.
مؤلفه ادراكی17: عبارت 
در رابطه بردار سرعت (19)، مؤلفه ادراكی را نشان میدهد. این مؤلفه مانند حافظهاى است كه بهترین موقعیت ذره 
را حفظ میكند. تأثیر این مؤلفه به‌صورت هدایت ذره به سوی موقعیت بهترین خاطره ذره می‌باشد. این مؤلفه به شکل تفاضل بین بهترین موقعیتی که ذره تجربه نموده با موقعیت کنونی ذره، محاسبه می‌شود. شایان توجه است که هرچه موقعیت کنونی ذره فاصله بیشتری از موقعیت بهترین خاطره ذره داشته باشد، تفاضل این عبارت افزایش پیدا کرده و در نتیجه، مقدار این عبارت باعث می‌شود که ذره به موقعیت بهترین خاطره خود جذب شود. همچنین پارامتر که به‌صورت حاصل‌ضرب در این عبارت وجود دارد، یک ثابت مثبت و یک ضریب تنظیم برای پارامتر شناخت فردی محسوب می‌شود.
مؤلفه آموزش اجتماعی18: عبارت 
در رابطه بردار سرعت (19)، مؤلفه آموزش اجتماعی را نشان میدهد. تأثیر این مؤلفه به‌صورت هدایت ذره به‌سوی بهترین موقعیت ذرات 
می‌باشد. پارامتر یک ثابت مثبت و یک ضریب تنظیم برای آموزش اجتماعی محسوب می‌شود.
در نهایت مقدار سرعت ذره بر اساس این سه مؤلفه و موقعیت ذره بر اساس سرعت حاصل‌شده، به‌روزرسانی خواهد شد. در ادامه مقدار تابع هدف به‌ازای موقعیت هر ذره با مقدار تابع هدف به‌ازای بهترین موقعیتی كه ذره تا كنون تجربه كرده 
، مقایسه شده و اگر مقدار تابع هدف متناظر با موقعیت جدید ذره بهتر از مقدار مربوط به موقعیت قبلی ذره باشد 
، آنگاه موقعیت بهترین خاطره ذره به‌روز می‌شود. همچنین مقدار تابع هدف به‌ازای موقعیت هر ذره با مقدار تابع هدف به‌ازای بهترین موقعیت ذره در میان تمام ذرات ، مقایسه می‌شود و اگر مقدار تابع هدف موقعیت جدید ذره بهتر از تابع هدف بهترین موقعیت ذره باشد، یعنی 
، آنگاه بهترین موقعیت ذره به‌روز می‌شود.
5-2 فلوچارت الگوریتم PSO
جهت جمع‌بندی، فلوچارت مربوط به کلیه مراحل فرایند تخمین پارامترهای تابع انتقال با استفاده از الگوریتم PSO در شکل 6 نشان داده شده است. فلوچارت الگوریتم PSO شامل چهار به‌روزرسانی است که این بهروزرسانیها عبارت هستند از 1) به‌روزرسانی خاطره ذره که مربوط به مؤلفه ادراکی است، 2) به‌روزرسانی بهترین ذره که مربوط به مؤلفه اجتماعی است، 3) به‌روزرسانی موقعیت سرعت که مربوط به مؤلفه اینرسی است و در آخر با توجه به این سه مؤلفه، 4) به‌روزرسانی موقعیت ذره انجام می‌شود که توضیحات این مؤلفهها و جزئیات آن در بخش قبل ارائه شده است.
5-3 تنظیم پارامترهای الگوریتم PSO
برای اینکه الگوریتم‌های بهینه‌سازی بهترین عملکرد را داشته باشند، لازم است که پارامترهای آنها به‌درستی تنظیم شوند. برای تعیین مقادیر پارامترهای ، و در الگوریتم PSO از روابط [29] استفاده شده است. در الگوریتم PSO سرعت ذرات باید محدود شود تا بتوان مسیر حرکت آنها را کنترل نمود. در [29] سیر یک ذره در حالت‌های مختلف، تحلیل شده است. در این مرجع، یک تصویر پنج‌بعدی ایجاد شده که سیستم الگوریتم PSO را به‌طور کامل توصیف میکند. در نهایت این تحلیلها منجر به استخراج یک مدل تعمیم‌یافته از الگوریتم می‌گردد
که شامل مجموعهای از ضرایب برای کنترل گرایش‌های همگرایی پارامترهای الگوریتم PSO می‌شود. مدل ارائه‌شده در این مرجع، ضرایب تنظیم پارامتر الگوریتم PSO را محدود19 مینماید. در این راستا ضرایب الگوریتم PSO به‌صورت (21) تعریف میشوند
(21)